[{"content":"欢迎来到 Trojan TeaHouse！来都来了，喝杯茶再走嘛 ο(=•ω＜=)ρ ~☆\n","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/","section":"Home","summary":"","title":"Home"},{"content":"随记 #","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/","section":"Jottings","summary":"","title":"Jottings"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/optics/","section":"Tags","summary":"","title":"Optics"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/physics/","section":"Tags","summary":"","title":"Physics"},{"content":"标签 #","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/","section":"Tags","summary":"","title":"Tags"},{"content":" 光波的传输通常会受到衍射效应的影响，导致横向光场分布随传播距离增加而发散，这一现象限制了其在对光束准直性敏感的领域的应用。1987年，Durnin 等人提出了一类标量亥姆霍兹方程的特殊解，即贝塞尔光束（Bessel Beam）。贝塞尔光束具有一系列独特的传输特性。理想的贝塞尔光束在自由空间传播时，其横向光强分布保持不变，具有高度局域化强度分布。此外，贝塞尔光束还表现出自愈特性，当光束经过光阑后，在一定传播距离后能够自重建出原始光场。Durnin 将符合这些特性的光束称为无衍射光束（Diffraction-free Beam），这类光束新颖且独特的性质使得其在激光打孔、微粒操控、精密准直等领域展现出广泛的应用前景。\n然而，理想的贝塞尔光束在全空间内非平方可积，意味着其携带无限大的能量，这与现实相悖。实际应用中，通常通过环缝 - 透镜系统、轴棱锥等光学元件产生近似贝塞尔光束。这类光束在有限的传播距离内能够较好地符合理想贝塞尔光束的无衍射与自愈特性。\n本文旨在探讨贝塞尔光束的衍射特性及其经光阑后的自愈机制，利用理想贝塞尔光束以及环缝 - 透镜系统产生的近似贝塞尔光束的光束方程，分析其无衍射性质以及通过高斯型软边光阑后的衍射特性。\n1 贝塞尔光束 #1.1 理论公式 #考虑在柱坐标系下求解标量亥姆霍兹方程\n$$ \\nabla^2 u + k^2 u = 0 \\tag{1} $$得到描述贝塞尔光束的一般方程\n$$ u_m(r,\\varphi,z) = \\left[ A J_m(k_r r) + B Y_m(k_r r) \\right] e^{i m \\varphi} e^{i k_z z} \\tag{2} $$附录 \\(4.1\\) 给出了具体的推导过程。其中 \\(k_r^2 = k^2 - k_z^2\\)，\\(J_m\\) 和 \\(Y_m\\) 分别为第一类和第二类 \\(m\\) 阶贝塞尔函数。\n考虑到 \\(Y_m\\) 在 \\(r=0\\) 处奇异，通常，直接称 \\(B=0\\) 时为 \\(m\\) 阶贝塞尔光束。\n图 1 是通过数值模拟给出的贝塞尔光束的横向光强分布。可见，贝塞尔光束的横向光强分布为一组同心圆环。特别地，零阶贝塞尔光束中心光强为一个亮斑，而高阶的贝塞尔光束中心光强为零。\nFig.1 \u0026nbsp; 贝塞尔光束横向光强分布 1.2 实际的近似贝塞尔光束 #理论公式所描述的贝塞尔光束在全平面上非平方可积，意即其携带有无限大的能量，显然与实际相悖。这意味着，理想的贝塞尔光束无法在实际中产生。然而，可以通过近似的方法在有限区域内产生近似的贝塞尔光束。这里以最早提出“无衍射贝塞尔光束”的 Durnin 等人所设计的环缝-透镜系统为例进行说明。\n1.2.1 理论分析\n利用 Hansen Bessel 公式，对整数阶贝塞尔函数，有\n$$ J_m(x) = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} e^{i x \\cos \\varphi} e^{i m (\\varphi - \\pi/2)} \\mathrm{d}\\varphi \\tag{3} $$从而 0 阶贝塞尔光束可表示为\n$$ u_0(r,z) = \\frac{A_0}{2\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi} e^{i k_r r \\cos \\varphi} e^{i k_z z} \\mathrm{d}\\varphi \\tag{4} $$可见，0 阶贝塞尔光束可视为由所有与 \\(z\\) 轴成角度 \\(\\theta\\)（满足 \\(k_r = k \\sin \\theta\\)，\\(k_z = k \\cos \\theta\\)），具有相同振幅和相位的平面波组成的光束的叠加。\n1.2.2 环缝-透镜系统的近似贝塞尔光束方程\nFig.2 \u0026nbsp; 贝塞尔光束的产生示意图 如图 2 所示为 Durnin 等人用来产生贝塞尔光束的实验装置。透镜的焦距 \\(f\\)，孔径 \\(2a\\), 在前焦面处放置一个环形光阑，环形光阑的半径 \\(R\\) ，环宽 \\(\\Delta R\\) 。入射光为波长 \\(\\lambda\\) 的平面波。\n入射平面波经过环缝-透镜系统后，在傍轴近似下，透镜后方 \\(z-f\\) 处得到的光场可表示为\n$$ \\begin{align} E(r, z) =\u0026 - k^2 \\frac{e^{i k z}}{(z-f) f} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r^2 \\right) \\cdot\\notag \\\\ \u0026\\int^{a}_{0} \\int^{R+\\frac{\\Delta R}{2}}_{R-\\frac{\\Delta R}{2}} \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} r_0^2 \\right) \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r_1^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 r_0}{f} \\right) J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right) r_0 r_1 \\mathrm{d}r_0 \\mathrm{d}r_1 \\tag{5} \\end{align} $$附录 \\(4.2\\) 给出了具体的推导过程。\n1.2.3 光束方程的近似与局限分析\n为使上述光束方程近似满足贝塞尔光束方程，需要参数间符合一定要求。\n根据 1.2.1 理论分析中的思想，一方面，需要透镜前焦面上环形光阑后表面光场近似为光源分布在环上的点光源的叠加，即能够使用 \\(r_0 = R\\)， \\(d r_0 = \\Delta R\\) 来代替对 \\(r_0\\) 的积分。为此，对 \\(r_0\\) 的积分式中的被积函数 \\(\\exp\\left( \\frac{i k}{2f} r_0^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 r_0}{f} \\right) r_0\\) 应当在积分区间 \\([R−ΔR/2,R+ΔR/2]\\) 内变化缓慢，即满足\n$$ \\frac{\\Delta R}{R} \\ll 1\\ ,\\quad \\frac{k R}{f} \\Delta R \\ll 1\\ ,\\quad \\left(\\frac{k r_1}{f} \\Delta R\\right)_{max} = \\frac{k a}{f} \\Delta R \\ll 1 \\tag{6} $$此时，透镜前表面光场\n$$ \\begin{align} E_1(r_1,f) \u0026= - i k \\frac{e^{i k f}}{f} \\exp\\left(\\frac{i k}{2f} r_1^2\\right) \\int^{R+\\frac{\\Delta R}{2}}_{R-\\frac{\\Delta R}{2}} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} r_0^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 r_0}{f} \\right) r_0 \\mathrm{d}r_0 \\notag\\\\ \u0026\\approx - i k \\frac{e^{i k f}}{f} E_0 \\exp\\left(\\frac{i k}{2f} r_1^2\\right) \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} R^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right) R \\Delta R \\tag{7} \\end{align} $$另一方面，需要透镜孔径 \\(a\\) 足够大，使得透镜屏函数的边界效应对光场的影响尽可能小。为此，关于 \\(r_1\\) 的积分式 \\(\\int_0^{\\infty} \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r_1^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right) J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right) r_1\\) 其主要贡献部分应位于 \\([0,a]\\) 内，且远离 \\(r_1 = a\\) 处，即满足\n$$ z - f \\ll \\frac{f a}{R} \\tag{8} $$具体分析见附录 \\(4.3\\) 。此时，忽略透镜屏函数的边界，透镜后表面光场\n$$ \\begin{align} E_1(r_1,f) \\approx - i k \\frac{e^{i k f}}{f} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} R^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right) R \\Delta R \\end{align} \\tag{9} $$符合贝塞尔光束在截面处的横向光场分布。从而，透镜后方 \\(z-f\\) 处光场\n$$ \\begin{align} E_1(r_1,z) \\approx - i k \\frac{e^{i k f}}{f} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} R^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right) R \\Delta R \\exp\\left(i k \\sqrt{1 - \\left( \\frac{R}{f} \\right)^2} (z-f) \\right) \\end{align} \\tag{10} $$为贝塞尔光束。而式 (6) (8) 则给出了上述近似所需满足的参数条件。\n2 无衍射性质 #2.1 理想贝塞尔光束的无衍射性质 #对贝塞尔光束\n$$ u_m(r,\\varphi,z) = A J_m(k_r r) e^{i m \\varphi} e^{i k_z z} \\tag{11} $$其传播距离 \\(z\\) 变化仅引起相位因子的变化，而横向强度分布\n$$ I(r,\\varphi,z) = |A J_m(k_r r)|^2 \\tag{12} $$与 \\(z\\) 无关。称这种在传输过程中保持横向光强分布不变的光束为无衍射光束（Diffraction-free Beam）\n2.2 近似贝塞尔光束的有限无衍射距离 #在实际中产生的近似贝塞尔光束只能在有限距离内近似保持无衍射性质。在 1.2.3 节中给出的环缝-透镜系统所产生的近似贝塞尔光束方程，参数条件中\n$$ z - f \\ll \\frac{f a}{R} \\tag{8} $$即反映了近似贝塞尔光束的有限无衍射距离。\n图 3 图 4 展示了基于式 \\((5)\\) 进行数值模拟对其作的直观验证。考虑波长 \\(\\lambda = 632.8\\ nm\\) 的准直 He - Ne 激光入射，透镜焦距 \\(f = 305\\ mm\\)，半径 \\(a = 3.5\\ mm\\)，环缝半径 \\(R = 1.25\\ mm\\)，环宽 \\(\\Delta R = 10\\ \\mu m\\)\nFig.3 \u0026nbsp; 近似贝塞尔光束轴上光强分布 Fig.4 \u0026nbsp; 近似贝塞尔光束横向光强分布 可见，近似贝塞尔光束在远离 \\(Z_{max} = \\frac{f a}{R} \\approx 854\\ mm\\) （大致 \\(z - f = 0 \\sim 600\\ mm\\) 范围内）基本保持无衍射性质。轴上光强分布在一定范围剧烈振荡，这是透镜作为硬边光阑所引起的；横向光强分布则基本保持贝塞尔光束的特征。而当传播距离超过 \\(z - f \\approx 700\\ mm\\) 后，透镜的有限边界产生的影响开始显现，光强分布发生明显变化，无法再近似视为无衍射光束。\n3 经高斯型软边光阑后的衍射 #高斯型软边光阑的屏函数遵循高斯函数的形式。在不考虑中心及相位偏移时，屏函数可表示为\n$$ t_g(r_0) = \\exp\\left( - \\frac{r_0^2}{w^2} \\right) \\tag{14} $$利用衍射积分公式，并采用傍轴近似，得到贝塞尔光束经高斯型软边光阑后的光场\n$$ \\begin{align} E(r, z) =\u0026 -\\frac{i}{\\lambda} \\frac{e^{i k z}}{z} \\int_{\\infty} E_0 J_m(k_r r_0) e^{im\\varphi_0} \\exp\\left(-\\frac{r_0^2}{\\omega^2}\\right) \\cdot \\notag\\\\ \u0026 \\qquad \\qquad \\exp\\left({\\frac{i k}{2z} [r^2 + r_0^2 - 2 r r_0 \\cos(\\varphi - \\varphi_0)]}\\right) r_0 \\mathrm{d}r_0 \\mathrm{d}\\varphi_0 \\notag\\\\ =\u0026 E_0 \\frac{k}{k+2i\\frac{z}{\\omega^2}} \\exp\\left[ -i\\frac{k_r^2}{2k}z \\left( \\frac{1-2i\\frac{1}{\\omega^2}\\frac{k}{k_r^2}\\frac{r^2}{z}}{1+2i\\frac{1}{\\omega^2}\\frac{z}{k}} \\right) \\right] J_m\\left( \\frac{k_r k}{k + 2i \\frac{z}{\\omega^2}} r \\right) e^{i m \\varphi} e^{i k z} \\tag{15} \\end{align} $$附录 \\(4.4\\) 给出了具体的推导过程。在满足参数条件\n$$ z \\ll k \\omega^2 , \\quad r \\ll \\sqrt{ \\frac{k_r^2}{k} z \\omega^2 } \\tag{16} $$时，光场可近似表示为\n$$ E(r, z) \\approx E_0 \\exp\\left( -i \\frac{k_r^2}{2 k} z \\right) J_m(k_r r) e^{i m \\varphi} e^{i k z} \\tag{17} $$符合贝塞尔光束的形式。\n图 5 图 6 展示了基于式 \\((15)\\) 进行数值模拟对其作的直观验证。考虑波长 \\(\\lambda = 632.8\\ nm\\) 的单位振幅的 \\(0\\) 阶贝塞尔光束，参数 \\(k_r = 3\\ (mm)^{-1}\\)，光阑宽度 \\(\\omega = 5\\ mm\\)\nFig.5 \u0026nbsp; 贝塞尔光束经高斯型软边光阑后轴上光强分布 Fig.6 \u0026nbsp; 贝塞尔光束经高斯型软边光阑后横向光强分布 可见，贝塞尔光束经高斯型软边光阑后，在传播距离远离 \\(Z_{max} = k \\omega^2 \\approx 248\\ m\\) （大致 \\(z = 1 \\sim 10\\ m\\) 范围内）基本保持横向分布不变。横向光强分布则在轴向距离远离 \\(r_{bound} = \\sqrt{ \\frac{k_r^2}{k} z \\omega^2 }\\) 基本保持贝塞尔光束的特征。\n4 附录 #4.1 贝塞尔光束方程的推导\n从单频光场所满足的标量亥姆霍兹方程出发\n$$ \\nabla^2 u + k^2 u = 0 \\tag{18} $$采用柱坐标 \\((r,\\varphi,z)\\)，作变量分离，令\n$$ u(r,\\varphi,z) = R(r)\\ \\Phi(\\varphi)\\ Z(z) \\tag{19} $$代入亥姆霍兹方程得\n$$ \\frac{1}{R} \\frac{1}{r} \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r} \\left( r \\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}r} \\right) + \\frac{1}{\\Phi} \\frac{1}{r^2} \\frac{\\mathrm{d}^2 \\Phi}{\\mathrm{d}\\varphi^2} = - \\frac{1}{Z} \\frac{\\mathrm{d}^2 Z}{\\mathrm{d}z^2} - k^2 \\tag{20} $$等式左侧仅依赖于 \\(r,\\varphi\\)，右侧仅依赖于 \\(z\\)，可令\n$$ \\frac{1}{Z} \\frac{\\mathrm{d}^2 Z}{\\mathrm{d}z^2} = -k_z^2 \\tag{21} $$从而\n$$ Z(z) = e^{i k_z z} \\tag{22} $$$$ r \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r} \\left( r \\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}r} \\right) \\frac{1}{R} + (k^2 - k_z^2) r^2 = - \\frac{1}{\\Phi} \\frac{\\mathrm{d}^2 \\Phi}{\\mathrm{d}\\varphi^2} \\tag{23} $$同样地，等式左侧仅依赖于 \\(r\\)，右侧仅依赖于 \\(\\varphi\\)，可令 $$ \\frac{1}{\\Phi} \\frac{\\mathrm{d}^2 \\Phi}{\\mathrm{d}\\varphi^2} = -m^2 \\tag{24} $$从而 $$ \\Phi(\\varphi) = e^{i m \\varphi} \\tag{25} $$$$ r \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}r} \\left( r \\frac{\\mathrm{d}R}{\\mathrm{d}r} \\right) \\frac{1}{R} + (k^2 - k_z^2) r^2 - m^2 = 0 \\tag{26} $$\\(R(r)\\) 满足的方程即符合贝塞尔方程的形式，其标准解可写为\n$$ R(r) = A J_m(k_r r) + B Y_m(k_r r) \\tag{27} $$其中 \\(k_r^2 = k^2 - k_z^2\\)，\\(J_m\\) 和 \\(Y_m\\) 分别为第一类和第二类 \\(m\\) 阶贝塞尔函数\n由此，我们得到了描述贝塞尔光束的一般方程\n$$ u_m(r,\\varphi,z) = \\left[ A J_m(k_r r) + B Y_m(k_r r) \\right] e^{i m \\varphi} e^{i k_z z} \\tag{28} $$4.2 环缝-透镜系统所产生的近似贝塞尔光束方程的推导\n平面波通过环形光阑后光场\n$$ E_0(r_0, 0) = \\begin{cases} E_0 \u0026,\\ R - \\frac{\\Delta R}{2} \\leq r_0 \\leq R + \\frac{\\Delta R}{2} \\\\ 0 \u0026,\\ otherwise \\end{cases} \\tag{29} $$利用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式，采用傍轴近似，得到 $$ \\begin{align} E_1(r_1,f) \u0026= -\\frac{i}{\\lambda} \\frac{e^{i k f}}{f} \\int_{\\infty} E_0(r_0, 0) \\exp\\left({\\frac{i k}{2f} [r_1^2 + r_0^2 - 2 r_1 r_0 \\cos(\\varphi_1 - \\varphi_0)]}\\right) r_0 \\mathrm{d}r_0 \\mathrm{d}\\varphi_0 \\notag\\\\ \u0026= - i k \\frac{e^{i k f}}{f} \\exp\\left(\\frac{i k}{2f} r_1^2\\right) \\int^{R+\\frac{\\Delta R}{2}}_{R-\\frac{\\Delta R}{2}} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} r_0^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 r_0}{f} \\right) r_0 \\mathrm{d}r_0 \\tag{30} \\end{align} $$理想薄透镜的屏函数满足\n$$ t_f(r_1) = \\begin{cases} \\exp\\left( - \\frac{i k}{2f} r_1^2 \\right) \u0026,\\ r_1 \\le a \\\\ 0 \u0026,\\ r_1 \\gt a \\end{cases} \\tag{31} $$经透镜后光场\n$$ \\begin{align} E_f(r_1,f) \u0026= E_1(r_1,f) t_f(r_1) \\notag\\\\ \u0026= - i k \\frac{e^{i k f}}{f} t_f(r_1) \\exp\\left(\\frac{i k}{2f} r_1^2\\right) \\int^{R+\\frac{\\Delta R}{2}}_{R-\\frac{\\Delta R}{2}} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} r_0^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 r_0}{f} \\right) r_0 \\mathrm{d}r_0 \\tag{32} \\end{align} $$再次利用衍射积分公式并采用傍轴近似，得到透镜后方 \\(z-f\\) 处光场\n$$ \\begin{align} E(r, z) \u0026= -\\frac{i}{\\lambda} \\frac{e^{i k (z-f)}}{z-f} \\int_{\\infty} E_f(r_1,f) \\exp\\left({\\frac{i k}{2(z-f)} [r^2 + r_1^2 - 2 r r_1 \\cos(\\varphi - \\varphi_1)]}\\right) r_1 \\mathrm{d}r_1 \\mathrm{d}\\varphi_1 \\notag\\\\ \u0026= - i k \\frac{e^{i k (z-f)}}{z-f} \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r^2 \\right) \\int^{a}_{0} E_f(r_1,f) \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r_1^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right) r_1 \\mathrm{d}r_1 \\notag\\\\ \u0026= - k^2 \\frac{e^{i k z}}{(z-f) f} E_0 \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r^2 \\right)\\cdot\\notag \\\\\u0026 \\qquad \\ \\int^{a}_{0} \\int^{R+\\frac{\\Delta R}{2}}_{R-\\frac{\\Delta R}{2}} \\exp\\left( \\frac{i k}{2f} r_0^2 \\right) \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r_1^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 r_0}{f} \\right) J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right) r_0 r_1 \\mathrm{d}r_0 \\mathrm{d}r_1 \\tag{33} \\end{align} $$4.3 近似贝塞尔光束产生中的参数条件分析\n考察关于 \\(r_1\\) 的积分式\n$$ I = \\int_0^a \\exp\\left( \\frac{i k}{2(z-f)} r_1^2 \\right) J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right) J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right) r_1 \\mathrm{d}r_1 \\tag{34} $$此为第一型振荡积分，考虑采用驻相法分析积分值的主要贡献部分。为此，需要首先确定函数的相位因子。\n贝塞尔函数中 \\(J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right)\\) 的宗量与变量 \\(r\\) 无关。首先考虑让其符合大宗量近似条件\n$$ \\frac{k a R}{f} \\gg 1 \\tag{35} $$利用贝塞尔函数的大宗量近似\n$$ J_0\\left( \\frac{k r_1 R}{f} \\right) \\approx \\sqrt{\\frac{f}{2 \\pi k r_1 R}} \\left[ e^{i \\left( \\frac{k r_1 R}{f} - \\frac{\\pi}{4} \\right)} + e^{-i \\left( \\frac{k r_1 R}{f} - \\frac{\\pi}{4} \\right)} \\right] \\tag{36} $$而对 \\(J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right)\\)，由于通常在考察近似贝塞尔光束的无衍射性质时，关注轴上或近轴处的光场分布，因此可认为 \\(r\\) 足够小，使得 \\(J_0\\left( \\frac{k r r_1}{z-f} \\right)\\) 引入的相位因子变化极缓慢，在分析驻相点时无需考虑。\n由此，可以写出被积函数的相位因子\n$$ \\Phi(r_1)_\\pm \\approx \\frac{k}{2(z-f)} r_1^2 \\pm \\frac{k R}{f} r_1 \\tag{37} $$驻相点满足 \\(\\frac{\\mathrm{d}\\Phi}{\\mathrm{d}r_1} = 0\\)，其中 \\(\\Phi_+\\) 在 \\(r_{1} \u003e 0\\) 处无驻相点，而 \\(\\Phi_-\\) 可解得符合条件的驻相点\n$$ r_{1s} = \\frac{R (z-f)}{f} \\tag{38} $$该振荡积分的主要贡献部分位于驻相点附近相位缓慢变化的区域。为使有限区间 \\([0, a]\\) 的积分近似等于无限区间 \\([0, \\infty)\\) 的积分，要求驻相点位于积分区间内且远离上界 \\(a\\)，即 \\(r_{1s} \\ll a\\)。整理得\n$$ z - f \\ll \\frac{a f}{R} \\tag{39} $$该条件具有明确的几何光学意义。如图 2 所示，在几何光学模型中，从透镜边缘 (\\(r_1=a\\)) 出射并以角度 \\(\\theta = R/f\\) 向光轴会聚的光线，其与光轴相交的最大距离即为 \\(Z_{max} = a f / R\\)。当传播距离超过此范围，光线不再重叠，无法形成贝塞尔光束。\n4.4 贝塞尔光束经高斯型软边光阑后的光场方程的推导\n贝塞尔光束经高斯型软边光阑后的光场\n$$ \\begin{align} E(r, z) = -\\frac{i}{\\lambda} \\frac{e^{i k z}}{z} e^{im\\varphi} \\int_{\\infty} \u0026 E_0 J_m(k_r r_0) e^{im(\\varphi_0-\\varphi)} \\exp\\left(-\\frac{r_0^2}{\\omega^2}\\right) \\cdot \\notag\\\\ \u0026\\quad\\exp\\left({\\frac{i k}{2z} [r^2 + r_0^2 - 2 r r_0 \\cos(\\varphi_0 - \\varphi)]}\\right) r_0 \\mathrm{d}r_0 \\mathrm{d}\\varphi_0 \\tag{40} \\end{align} $$首先，考虑对 \\(\\varphi_0\\) 的积分，利用 Hansen Bessel 公式\n$$ \\int_{-\\pi}^{\\pi} \\exp\\left( - \\frac{i k r r_0}{z} \\cos(\\varphi_0 - \\varphi) \\right) e^{i m (\\varphi_0 - \\varphi)} \\mathrm{d}\\varphi_0 = 2 \\pi (-i)^m J_m\\left( \\frac{k r}{z} r_0 \\right) \\tag{41} $$由此，光场可写为\n$$ \\begin{align} E(r, z) =\u0026 -\\frac{i}{\\lambda} \\frac{e^{i k z}}{z} E_0 e^{i m \\varphi} \\exp\\left({\\frac{i k}{2z} r^2}\\right) 2 \\pi (-i)^m \\cdot \\notag\\\\ \u0026\\quad \\int_{0}^{\\infty} J_m(k_r r_0) J_m\\left( \\frac{k r}{z} r_0 \\right) \\exp\\left[-\\left(\\frac{1}{\\omega^2} - {\\frac{i k}{2z} } \\right) r_0^2 \\right] r_0 \\mathrm{d}r_0 \\tag{42} \\end{align} $$利用积分公式\n$$ \\begin{align} \\int_0^\\infty e^{-p^2 x^2} J_m(a x) J_m(b x) x \\mathrm{d}x \u0026= \\frac{1}{2 p^2} \\exp\\left( - \\frac{a^2 + b^2}{4 p^2} \\right) I_m\\left( \\frac{a b}{2 p^2} \\right) \\notag\\\\ \u0026= \\frac{1}{2 p^2} \\exp\\left( - \\frac{a^2 + b^2}{4 p^2} \\right) (-i)^{-m} J_m\\left( -i \\frac{a b}{2 p^2} \\right) \\tag{43} \\end{align} $$其中 \\(I_m\\) 为第一类虚宗量贝塞尔函数，满足 \\(I_m(x) = i^{-m} J_m(i x)\\) ，取 \\(p^2 = \\frac{1}{\\omega^2} - \\frac{i k}{2 z}\\), \\(a = k_r\\), \\(b = \\frac{k r}{z}\\)，得到最终的光场表达式\n$$ \\begin{align} E(r, z) =\u0026 -\\frac{i}{\\lambda} \\frac{e^{i k z}}{z} E_0 e^{i m \\varphi} \\exp\\left({\\frac{i k}{2z} r^2}\\right) 2 \\pi \\frac{1}{2\\left( \\frac{1}{\\omega^2} - \\frac{i k}{2 z} \\right)} \\cdot \\notag\\\\ \u0026\\quad \\exp\\left[ - \\frac{k_r^2 + \\left( \\frac{k r}{z} \\right)^2}{4 \\left( \\frac{1}{\\omega^2} - \\frac{i k}{2 z} \\right)} \\right] J_m\\left( -i \\frac{k_r \\frac{k r}{z}}{2 \\left( \\frac{1}{\\omega^2} - \\frac{i k}{2 z} \\right)} \\right) \\notag\\\\ \\notag\\\\ =\u0026 E_0 \\frac{k}{k + 2 i \\frac{z}{\\omega^2}} \\exp\\left[ -i \\frac{k_r^2}{2 k} z \\left( \\frac{1 - 2 i \\frac{1}{\\omega^2} \\frac{k}{k_r^2} \\frac{r^2}{z}}{1 + 2 i \\frac{1}{\\omega^2} \\frac{z}{k}} \\right) \\right] J_m\\left( \\frac{k_r k}{k + 2 i \\frac{z}{\\omega^2}} r \\right) e^{i m \\varphi} e^{i k z} \\tag{44} \\end{align} $$ 参考文献\n[1] 吕百达. 激光光学光束描述、传输变换与光腔技术物理[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2003: 250-259. [2] 羊国光, 宋菲君. 高等物理光学[M]. 第2版. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2008: 150-155. [3] 刘会龙, 胡总华, 夏菁, 等.无衍射光束的产生及其应用[J]. 物理学报, 2018, 67(21):19. [4] Durnin J .Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory[J].J.opt.soc, 1987, 4:651-654. [5] Durnin J , Jr M J , Eberly J H .Diffraction-free beams[J].Physical Review Letters, 1987, 58(15):1499-1501. ","date":"2026.1.17","permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/bessel-beam/","section":"Jottings","summary":"贝塞尔光束表现出无衍射特性，这类光束具有新颖且独特的光学性质","title":"贝塞尔光束的衍射性质"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/relativity/","section":"Tags","summary":"","title":"Relativity"},{"content":" Wigner 转动指出，对坐标系按序作用两个任意方向的 Lorentz boost，其等效于一个 Lorentz boost 和一个空间转动。\n即 $$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) = \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} \\tag{1} $$本文将尝试讨论一般情况下的 Wigner 转动。\n相对论变换矢量关系式 #我们首先尝试导出任意 Lorentz boost 矢量形式的变换矩阵。以 \\(\\boldsymbol{\\beta}\\) 表征 Lorentz boost ，对于在 \\(S\\) 中坐标为 \\(( \\boldsymbol{x},\\ x^{0} = ct)\\) 的事件，其空间坐标 \\(\\boldsymbol{x}\\) 的平行与垂直 Lorentz boost 方向的分量可由下式给出\n$$ \\begin{align} \\boldsymbol{x} \u0026 = x_{\\parallel } \\boldsymbol{e_{\\parallel}} + x_{\\bot} \\boldsymbol{e_{\\bot}} \\notag \\\\ \u0026 = \\boldsymbol{x} \\cdot \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} + \\left( \\boldsymbol{x} - \\boldsymbol{x} \\cdot \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\right) \\tag{2} \\end{align} $$利用 Lorentz 坐标变换公式，得\n$$ \\begin{align} \\boldsymbol{x'} \u0026 = \\gamma \\left( \\boldsymbol{x} \\cdot \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} - \\beta x^0 \\right) \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} + \\left( \\boldsymbol{x} - \\boldsymbol{x} \\cdot \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\right) \\notag \\\\ \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} + (\\gamma - 1) \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\right] \\cdot \\boldsymbol{x} - \\gamma \\boldsymbol{\\beta} x^0 \\tag{3a} \\\\ x'^0 \u0026 = \\gamma x^0 - \\boldsymbol{\\beta} \\gamma \\cdot \\boldsymbol{x} \\tag{3b} \\end{align} $$可写作矩阵形式\n$$ \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{x'} \\\\ x'^0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\mathbf{I} + (\\gamma - 1) \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} \u0026 -\\boldsymbol{\\beta} \\gamma \\\\ -\\boldsymbol{\\beta} \\gamma \u0026 \\gamma \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{x} \\\\ x^0 \\end{bmatrix} \\tag{4} $$令 \\(\\gamma = \\ch \\theta\\)，则 \\(\\beta \\gamma = \\sh \\theta\\)\n再令 \\(\\frac{\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta} = \\boldsymbol{e}\\) 为该 Lorentz boost 方向的单位向量，故\n$$ \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}) = \\begin{bmatrix} \\mathbf{I} + (\\ch \\theta - 1) \\boldsymbol{e} \\boldsymbol{e} \u0026 -\\sh \\theta \\boldsymbol{e} \\\\ -\\sh \\theta \\boldsymbol{e} \u0026 \\ch \\theta \\end{bmatrix} \\tag{5} $$确定等效 Lorentz boost \\(\\boldsymbol{\\beta}\\) #对于按序作用两个任意方向的 Lorentz boost，记\n$$ \\begin{align} \u0026 \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) \\notag \\\\ \u0026 = \\begin{bmatrix} \\mathbf{I} + (\\ch \\theta_2 - 1) \\boldsymbol{e}_2 \\boldsymbol{e}_2 \u0026 -\\sh \\theta_2 \\boldsymbol{e}_2 \\\\ -\\sh \\theta_2 \\boldsymbol{e}_2 \u0026 \\ch \\theta_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathbf{I} + (\\ch \\theta_1 - 1) \\boldsymbol{e}_1 \\boldsymbol{e}_1 \u0026 -\\sh \\theta_1 \\boldsymbol{e}_1 \\\\ -\\sh \\theta_1 \\boldsymbol{e}_1 \u0026 \\ch \\theta_1 \\end{bmatrix} \\notag \\\\ \u0026 = \\begin{bmatrix} \\mathbf{A}_{11} \u0026 \\boldsymbol{a}_{12} \\\\ \\boldsymbol{a}_{21} \u0026 a_{22} \\end{bmatrix} \\tag{6} \\end{align} $$ 其中 $$ \\begin{align} \\mathbf{A}_{11} \u0026 = \\mathbf{I} + (\\ch\\theta_1 - 1)\\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_1 + (\\ch\\theta_2 - 1)\\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_2 + \\left[(\\ch\\theta_1 - 1)(\\ch\\theta_2 - 1)\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 + \\sh\\theta_1\\sh\\theta_2 \\right]\\boldsymbol{e}_2 \\boldsymbol{e}_1 \\notag \\quad \\text{(7a)} \\\\ \\boldsymbol{a}_{12} \u0026 = -\\sh\\theta_1\\boldsymbol{e}_1 - \\left[\\sh\\theta_1(\\ch\\theta_2 - 1)\\boldsymbol{e}_1\\cdot \\boldsymbol{e}_2 + \\sh\\theta_2\\ch\\theta_1\\right]\\boldsymbol{e}_2 \\tag{7b} \\\\ \\boldsymbol{a}_{21} \u0026 = -\\sh\\theta_2\\boldsymbol{e}_2 - \\left[\\sh\\theta_2(\\ch\\theta_1 - 1)\\boldsymbol{e}_1\\cdot \\boldsymbol{e}_2 + \\ch\\theta_2\\sh\\theta_1\\right]\\boldsymbol{e}_1 \\tag{7c} \\\\ a_{22} \u0026 = \\sh\\theta_1\\sh\\theta_2\\boldsymbol{e}_1\\cdot \\boldsymbol{e}_2 + \\ch\\theta_1\\ch\\theta_2 \\tag{7d} \\end{align} $$ 不妨首先看看要证明的式子\n$$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) = \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} \\tag{8} $$对左式 $$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) = \\begin{bmatrix} \\mathbf{A}_{11} \u0026 \\boldsymbol{a}_{12} \\\\ \\boldsymbol{a}_{21} \u0026 a_{22} \\end{bmatrix} \\tag{9} $$对右式\n$$ \\begin{align} \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} \u0026 = \\begin{bmatrix} \\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \u0026 -\\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\\\ -\\sh\\theta\\boldsymbol{e} \u0026 \\ch\\theta \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathbf{R}_{11} \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 1 \\end{bmatrix} \\notag \\\\ \u0026 = \\begin{bmatrix} (\\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e})\\cdot \\mathbf{R}_{11} \u0026 -\\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\\\ -\\sh\\theta\\boldsymbol{e}\\cdot \\mathbf{R}_{11} \u0026 \\ch\\theta \\end{bmatrix} \\tag{10} \\end{align} $$ 需要注意的是，此处（包括下文）中的 \\(\\boldsymbol{e} \\cdot \\mathbf{R}_{11}\\) 指的是 \\(e_i R_{ij}\\) ，即为 \\(\\boldsymbol{e}^T \\mathbf{R}_{11}\\) 。\n且其中 \\(\\mathbf{R}_{11}\\) 为一转动矩阵。\n因此，要验证左右两式相等，可遵循如下思路\n验证 \\(a_{22}^2 - |\\boldsymbol{a}_{12}|^2 = 1\\)。这是为了能够表示出 \\(\\boldsymbol{\\beta}\\)\n假设 \\(\\boldsymbol{\\beta}\\)\n利用假设的 \\(\\boldsymbol{\\beta}\\) ，计算 \\(\\hat{R} = \\hat{Q}^{-1}(\\boldsymbol{\\beta})\\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta_2})\\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta_1})\\)\n验证 \\(\\hat{R}\\) 为空间转动，进而假设成立。\n可验证\n$$ \\begin{cases} a_{22}^2 - |\\boldsymbol{a}_{12}|^2 = 1 \\\\ a_{22}^2 - |\\boldsymbol{a}_{21}|^2 = 1 \\tag{11} \\end{cases} $$因此，令\n$$ \\begin{align} \\ch\\theta \u0026= a_{22} = \\sh\\theta_1\\sh\\theta_2\\boldsymbol{e}_1\\cdot\\boldsymbol{e}_2 + \\ch\\theta_1\\ch\\theta_2 \\tag{12a} \\\\ \\sh\\theta \u0026= |\\boldsymbol{a}_{12}| = |\\boldsymbol{a}_{21}| \\tag{12b} \\end{align} $$对于 \\(\\boldsymbol{\\beta}\\) 的方向 \\(\\boldsymbol{e}\\)，先假设 $$ -\\sh\\theta\\ \\ \\boldsymbol{e} = \\boldsymbol{a}_{12} \\tag{13} $$ 成立。即 $$ \\boldsymbol{e} = \\frac{\\sh\\theta_1\\boldsymbol{e}_1 + \\left[\\sh\\theta_1(\\ch\\theta_2 - 1)\\boldsymbol{e}_1\\cdot \\boldsymbol{e}_2 + \\sh\\theta_2\\ch\\theta_1\\right]\\boldsymbol{e}_2}{\\sqrt{\\sh^2\\theta_1 \\sh^2\\theta_2(\\boldsymbol{e}_1\\cdot \\boldsymbol{e}_2)^2 + \\ch^2\\theta_1\\ch^2\\theta_2 + 2\\sh\\theta_1\\sh\\theta_2\\ch\\theta_1\\ch\\theta_2(\\boldsymbol{e}_1\\cdot \\boldsymbol{e}_2) - 1}} \\quad \\text{(14)} $$因此 $$ \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}) = \\begin{bmatrix} \\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \u0026 -\\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\\\ -\\sh\\theta\\boldsymbol{e} \u0026 \\ch\\theta \\end{bmatrix} \\tag{15} $$验证空间转动 \\(\\hat{R}\\) #$$ \\begin{align} \\hat{R} \u0026 = \\hat{Q}^{-1}(\\boldsymbol{\\beta})\\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta_2})\\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta_1}) \\notag \\\\ \u0026 = \\hat{Q}(-\\boldsymbol{\\beta})\\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta_2})\\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta_1}) \\notag \\\\ \u0026 = \\begin{bmatrix} 1 + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \u0026 \\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\\\ \\sh\\theta\\boldsymbol{e} \u0026 \\ch\\theta \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathbf{A}_{11} \u0026 \\boldsymbol{a}_{12} \\\\ \\boldsymbol{a}_{21} \u0026 a_{22} \\end{bmatrix} \\notag \\\\ \u0026 = \\begin{bmatrix} \\mathbf{R}_{11} \u0026 \\boldsymbol{r}_{12} \\\\ \\boldsymbol{r}_{21} \u0026 r_{22} \\end{bmatrix} \\tag{16} \\end{align} $$其中\n$$ \\begin{align} r_{22} \u0026 = \\sh\\theta\\boldsymbol{e}\\cdot\\boldsymbol{a}_{12} + \\ch\\theta \\ a_{22} \\notag \\\\ \u0026 = \\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\cdot (-\\sh\\theta\\boldsymbol{e}) + \\ch^2\\theta \\notag \\\\ \u0026 = -\\sh^2\\theta|\\boldsymbol{e}|^2 + \\ch^2\\theta = 1 \\tag{17a} \\\\ \\boldsymbol{r}_{12} \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \\right] \\cdot \\boldsymbol{a}_{12} + \\sh\\theta \\boldsymbol{e}\\ a_{22} \\notag \\\\ \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \\right] \\cdot (-\\sh\\theta \\boldsymbol{e}) + \\sh\\theta \\ch\\theta \\boldsymbol{e} \\notag \\\\ \u0026 = \\boldsymbol{0} \\tag{17b} \\\\ \\boldsymbol{r}_{21} \u0026 = \\sh\\theta \\boldsymbol{e} \\cdot \\mathbf{A}_{11} + \\ch\\theta \\boldsymbol{a}_{21} \\notag \\\\ \u0026 = -\\boldsymbol{a}_{12} \\cdot \\mathbf{A}_{11} + a_{22} \\boldsymbol{a}_{21} \\notag \\\\ \u0026 = \\boldsymbol{0} \\tag{17c} \\\\ \\mathbf{R}_{11} \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \\right] \\cdot \\mathbf{A}_{11} + \\sh\\theta \\boldsymbol{e} \\boldsymbol{a}_{21} \\tag{17d} \\\\ \\end{align} $$ 注意到结果中 \\(r_{22} = 1\\), \\(\\boldsymbol{r}_{12}=\\boldsymbol{0}\\)，从而确实有 \\(-\\sh\\theta\\ \\ \\boldsymbol{e} = \\boldsymbol{a}_{12}\\) 。因此上文中的假设 (13) 是成立的。\n接下来，需要验证 \\(\\mathbf{R}_{11}\\) 确为一转动矩阵。\n由于 $$ \\boldsymbol{r}_{21} = \\sh\\theta \\boldsymbol{e} \\cdot \\mathbf{A}_{11} + \\ch\\theta \\boldsymbol{a}_{21} = \\boldsymbol{0} \\tag{18} $$ 从而 $$ \\begin{align} \\mathbf{R}_{11} \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \\right] \\cdot \\mathbf{A}_{11} + \\sh\\theta \\boldsymbol{e} \\frac{ - \\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\cdot \\mathbf{A}_{11}}{\\ch\\theta} \\notag \\\\ \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} - \\frac{\\ch\\theta - 1}{\\ch\\theta} \\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e} \\right] \\cdot \\mathbf{A}_{11} \\notag \\\\ \u0026 = \\left[ \\mathbf{I} - \\frac{1}{\\ch\\theta (\\ch\\theta + 1)} \\boldsymbol{a}_{12} \\boldsymbol{a}_{12} \\right] \\cdot \\mathbf{A}_{11} \\notag \\\\ \u0026 = \\mathbf{I} + b_{11} \\boldsymbol{e}_1 \\boldsymbol{e}_1 + b_{12} \\boldsymbol{e}_1 \\boldsymbol{e}_2 + b_{21} \\boldsymbol{e}_2 \\boldsymbol{e}_1 + b_{22} \\boldsymbol{e}_2 \\boldsymbol{e}_2 \\tag{19} \\end{align} $$ 现在我们已经将 \\(\\mathbf{R}_{11}\\) 形式地表为了 (19) 式所示，即 $$ \\begin{align} \\mathbf{R}_{11} \u0026 = \\mathbf{I} + \\sum b_{ij} \\boldsymbol{e}_i \\boldsymbol{e}_j \\notag \\\\ \u0026 = \\mathbf{I} + \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{e}_1 \u0026 \\boldsymbol{e}_2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{12} \\\\ b_{21} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{e}_1 \\\\ \\boldsymbol{e}_2 \\end{bmatrix} \\tag{20} \\end{align} $$ 要验证其为转动矩阵，即是验证 $$ \\mathbf{R}_{11} \\mathbf{R}_{11}^T = \\mathbf{I} \\tag{21} $$ $$ \\det \\mathbf{R}_{11} = 1 \\tag{22} $$对于 (21) 式，利用 (20) 式，可化简为\n$$ \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{12} \\\\ b_{21} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{21} \\\\ b_{12} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{12} \\\\ b_{21} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 \\\\ \\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 \u0026 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{21} \\\\ b_{12} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} = 0 \\tag{23} $$对于 (22) 式，考虑 (20) 式右乘 \\(\\begin{bmatrix} \\boldsymbol{e}_1 \u0026 \\boldsymbol{e}_2 \\end{bmatrix}\\)，得到 $$ \\mathbf{R}_{11} \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{e}_1 \u0026 \\boldsymbol{e}_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{e}_1 \u0026 \\boldsymbol{e}_2 \\end{bmatrix} \\left( \\mathbf{I} + \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{12} \\\\ b_{21} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 \\\\ \\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 \u0026 1 \\end{bmatrix} \\tag{24} \\right) $$由于\n$$ \\det \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{e}_1 \u0026 \\boldsymbol{e}_2 \\end{bmatrix} = \\sqrt{1 - (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2)^2} \\neq 0 \\tag{25} $$因此\n$$ \\det \\mathbf{R}_{11} = \\det \\left( \\mathbf{I} + \\begin{bmatrix} b_{11} \u0026 b_{12} \\\\ b_{21} \u0026 b_{22} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 \\\\ \\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2 \u0026 1 \\end{bmatrix} \\right) = 1 \\tag{26} $$ 因此，需要验证 (23), (26) 式。\n其中 $$ \\begin{align} \u0026 b_{11} = b_{22} = - \\frac{(\\ch\\theta_1 - 1)(\\ch\\theta_2 - 1)}{\\ch\\theta + 1} \\tag{27a} \\\\ \u0026 b_{12} = -\\frac{\\sh\\theta_1 \\sh\\theta_2}{\\ch\\theta + 1} \\tag{27b} \\\\ \u0026 b_{21} = \\frac{2(\\ch\\theta_1 - 1)(\\ch\\theta_2 - 1)(\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2) + \\sh\\theta_1 \\sh\\theta_2}{\\ch\\theta + 1} \\tag{27c} \\\\ \\end{align} $$可验证其满足关系 $$ \\begin{cases} b_{11} = b_{22}\\\\ (b_{11}+1)(b_{22}+1) - b_{12}b_{21} = 1 \\\\ b_{12} + b_{21} + 2b_{22}(\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2) = 0 \\end{cases} \\tag{28} $$因此 \\(\\mathbf{R}_{11}\\) 为一转动矩阵。\n从而 $$ \\hat{R}= \\begin{bmatrix} \\mathbf{R}_{11} \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 1 \\end{bmatrix} \\tag{29} $$ 对应空间转动。\n转动矩阵 \\(\\mathbf{R}_{11}\\) 的矢量形式 # 我们首先尝试给出任意转动的矩阵表示，以此指导我们对转动矩阵的化简与分析。\n对任意转动，以转轴方向的单位向量 \\(\\boldsymbol{n}\\) 与转动角度 \\(\\phi\\) 表示。\n如图所示\n图 1 从而有\n$$ \\boldsymbol{r}' = \\boldsymbol{r}_\\parallel + \\boldsymbol{r}'_\\bot \\tag{30}$$其中 $$ \\boldsymbol{r}_\\parallel = (\\boldsymbol{r} \\cdot \\boldsymbol{n}) \\boldsymbol{n} \\tag{31} $$ $$ \\boldsymbol{r}'_\\bot = \\boldsymbol{r}_\\bot \\cos\\phi + (\\boldsymbol{n} \\times \\boldsymbol{r}_\\bot) \\sin\\phi \\tag{32} $$因此 $$ \\boldsymbol{r}' = (\\boldsymbol{r} \\cdot \\boldsymbol{n}) \\boldsymbol{n} + (\\boldsymbol{r} - (\\boldsymbol{r} \\cdot \\boldsymbol{n}) \\boldsymbol{n}) \\cos\\phi + (\\boldsymbol{n} \\times \\boldsymbol{r}) \\sin\\phi \\tag{33} $$即 $$ r'_i = \\left[ n_i n_j + (\\delta_{ij} - n_i n_j) \\cos\\phi - \\varepsilon_{ijk} n_k \\sin\\phi \\right] r_j \\tag{34} $$从而转动矩阵为 $$ R_{ij} = n_i n_j + (\\delta_{ij} - n_i n_j) \\cos\\phi - \\varepsilon_{ijk} n_k \\sin\\phi \\tag{35} $$ 首先对单位元 \\(\\mathbf{I}\\) 进行分解。\n需要注意的是，我们的目的是将 (19) 式中的单位元 \\(\\mathbf{I}\\) 进行分解，因此全空间应为 \\(\\mathbb{R}^3\\)，从而 \\(\\left( \\operatorname{span}\\{\\boldsymbol{e}_1, \\boldsymbol{e}_2\\} \\right)^\\perp \\cong \\mathbb{R}^1\\)。因此，取 \\(\\boldsymbol{e}_{\\bot}\\) 为该正交补空间的单位向量。\n设 $$ \\mathbf{I} = C_{11} \\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_1 + C_{12} \\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_2 + C_{21} \\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_1 + C_{22} \\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_2 + \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\tag{36} $$则\n$$ C_{11} = C_{22} = \\frac{1}{1 - (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2)^2} \\tag{37} $$$$ C_{12} = C_{21} = -\\frac{\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2}{1 - (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2)^2} \\tag{38} $$从而 $$ \\begin{align} \\mathbf{R}_{11} \u0026= \\left( 1 + \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\right) \\mathbf{I} - \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\mathbf{I} + b_{11} \\boldsymbol{e}_1 \\boldsymbol{e}_1 + b_{12} \\boldsymbol{e}_1 \\boldsymbol{e}_2 + b_{21} \\boldsymbol{e}_2 \\boldsymbol{e}_1 + b_{22} \\boldsymbol{e}_2 \\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026= \\left( 1 + \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\right) \\mathbf{I} + \\left( b_{11} - b_{11}\\frac{C_{11}}{C_{11}} \\right) \\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_1 + \\left( b_{12} - b_{11}\\frac{C_{12}}{C_{11}} \\right) \\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026\\phantom{{}= \\left( 1 + \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\right) \\mathbf{I}} + \\left( b_{21} - b_{11}\\frac{C_{21}}{C_{11}} \\right) \\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_1 + \\left( b_{22} - b_{11}\\frac{C_{22}}{C_{11}} \\right) \\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026\\phantom{{}= \\left( 1 + \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\right) \\mathbf{I}} - \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\notag \\\\ \u0026= \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} + \\left( \\mathbf{I} -\\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\right) \\left( 1 + \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\right) + \\left( b_{12} - b_{11}\\frac{C_{12}}{C_{11}} \\right) \\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026\\phantom{= \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} + \\left( \\mathbf{I} -\\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\right) \\left( 1 + \\frac{b_{11}}{C_{11}} \\right)} + \\left( b_{21} - b_{11}\\frac{C_{21}}{C_{11}} \\right) \\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_1 \\notag \\\\ \u0026= \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} + \\left( \\mathbf{I} -\\boldsymbol{e}_{\\bot} \\boldsymbol{e}_{\\bot} \\right) \\left[ \\alpha (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2) + \\beta \\right] + \\alpha \\left[ \\boldsymbol{e}_2\\boldsymbol{e}_1 - \\boldsymbol{e}_1\\boldsymbol{e}_2 \\right] \\tag{39} \\end{align} $$或 $$ (\\mathbf{R}_{11})_{ij} = (\\boldsymbol{e}_{\\bot})_i (\\boldsymbol{e}_{\\bot})_j + \\left[ \\delta_{ij} - (\\boldsymbol{e}_{\\bot})_i (\\boldsymbol{e}_{\\bot})_j \\right] \\left[ \\alpha (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2) + \\beta \\right] - \\alpha \\varepsilon_{ijk} (\\boldsymbol{e}_1 \\times \\boldsymbol{e}_2)_k \\quad \\text{(40)} $$ 其中 $$ \\begin{cases} \\alpha = \\frac{\\sh\\theta_1\\sh\\theta_2 + (\\ch\\theta_1-1)(\\ch\\theta_2-1)(\\boldsymbol{e_1} \\cdot \\boldsymbol{e_2})}{\\ch\\theta+1} \\\\ \\beta = \\frac{\\ch\\theta_1+\\ch\\theta_2}{\\ch\\theta+1} \\end{cases} \\tag{41} $$记转动的转角为 \\(\\phi\\)，转动的方向向量为 \\(\\boldsymbol{n}\\)，对比 (35) 式，因此\n$$ \\begin{aligned} \\boldsymbol{n} \\sin\\phi \u0026 = \\alpha (\\boldsymbol{e}_1 \\times \\boldsymbol{e}_2) \\notag \\\\ \u0026 = \\frac{\\sh\\theta_1 \\sh\\theta_2 + (\\ch\\theta_1 - 1)(\\ch\\theta_2 - 1)(\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2)}{\\ch\\theta + 1} \\boldsymbol{e}_1 \\times \\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026 = \\frac{\\sh\\theta_1 \\sh\\theta_2 + (\\ch\\theta_1 - 1)(\\ch\\theta_2 - 1)(\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2)}{\\sh\\theta_1 \\sh\\theta_2 (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2) + \\ch\\theta_1 \\ch\\theta_2 + 1} \\boldsymbol{e}_1 \\times \\boldsymbol{e}_2 \\quad \\text{(42)} \\end{aligned} $$ 补充 #（一）关于等效 Lorentz boost 与空间转动的次序 #本文所考察的等效变换是 $$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) = \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} \\tag{43} $$ 即先进行空间转动，再进行 Lorentz boost。\n实际上应有两种等效变换形式，即 $$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) = \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} = \\hat{R}' \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}' \\right) \\tag{44} $$我们需要比较二者的区别。注意到对易 Lorentz boost 与空间转动改变了整体矩阵的副对角线元素，即 $$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} = \\begin{bmatrix} (\\mathbf{I} + (\\ch\\theta - 1)\\boldsymbol{e}\\boldsymbol{e})\\cdot \\mathbf{R}_{11} \u0026 -\\sh\\theta\\boldsymbol{e} \\\\ -\\sh\\theta\\boldsymbol{e}\\cdot \\mathbf{R}_{11} \u0026 \\ch\\theta \\end{bmatrix} \\tag{45} $$ $$ \\hat{R}' \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}' \\right) = \\begin{bmatrix} \\mathbf{R}'_{11} \\cdot (\\mathbf{I} + (\\ch\\theta' - 1)\\boldsymbol{e}'\\boldsymbol{e}') \u0026 -\\sh\\theta'\\ \\mathbf{R}'_{11} \\cdot \\boldsymbol{e}' \\\\ -\\sh\\theta'\\ \\boldsymbol{e}' \u0026 \\ch\\theta' \\end{bmatrix} \\tag{46} $$可见 \\(\\boldsymbol{\\beta}'\\) 相较 \\(\\boldsymbol{\\beta}\\) 大小不变，但旋转了一个角度，即 $$ \\begin{cases} \\boldsymbol{\\beta} = \\mathbf{R}'_{11} \\cdot \\boldsymbol{\\beta}'\\\\ \\boldsymbol{\\beta}' = \\boldsymbol{\\beta} \\cdot \\mathbf{R}_{11} \\end{cases} \\tag{47} $$ 或 $$ \\begin{cases} \\beta_i = R'_{ij} \\beta'_j \\\\ \\beta'_i = \\beta_j R_{ji} \\end{cases} \\tag{48} $$ 从而 $$ \\beta_i = R'_{ij} \\beta_k R_{kj} \\tag{49}$$ 有 $$ R'_{ij} R_{kj} = \\delta_{ik} \\tag{50}$$ 或 $$ \\mathbf{R}'_{11} \\mathbf{R}_{11}^T = \\mathbf{I} \\tag{51}$$ 得到 $$ \\mathbf{R}'_{11} = \\mathbf{R}_{11} \\tag{52}$$ 综合上述讨论，针对两种等效形式，有 $$ \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{2}\\right) \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta}_{1}\\right) = \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} = \\hat{R} \\hat{Q}\\left( \\mathbf{R}_{11}^T \\cdot \\boldsymbol{\\beta} \\right) \\tag{53} $$ 从另一个角度看这个问题，即是 $$\\hat{Q}\\left( \\mathbf{R}_{11}^T \\cdot \\boldsymbol{\\beta} \\right) = \\hat{R}^T \\hat{Q}\\left(\\boldsymbol{\\beta} \\right) \\hat{R} \\tag{54}$$ 根据 Lorentz 群的空间旋转对称性，此式显然。\n（二）低阶近似 #考虑 \\(\\beta_1, \\beta_2 \\to 0\\) 时的低阶近似 此时\n$$ \\begin{align} \\boldsymbol{n} \\sin\\phi \u0026 = \\frac{\\gamma_1 \\gamma_2 \\beta_1 \\beta_2 + (\\gamma_1 - 1)(\\gamma_2 - 1)(\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2)}{\\gamma_1 \\gamma_2 \\beta_1 \\beta_2 (\\boldsymbol{e}_1 \\cdot \\boldsymbol{e}_2) + \\gamma_1 \\gamma_2 + 1} \\boldsymbol{e}_1 \\times \\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026 \\approx \\frac{1}{2} \\beta_1 \\beta_2 \\boldsymbol{e}_1 \\times \\boldsymbol{e}_2 \\notag \\\\ \u0026 = \\frac{1}{2} \\boldsymbol{\\beta}_1 \\times \\boldsymbol{\\beta}_2 \\tag{55} \\end{align} $$因此可近似 \\(\\sin\\phi \\approx \\phi\\)，得到转角\n$$ \\boldsymbol{n} \\phi = \\frac{1}{2} \\boldsymbol{\\beta}_1 \\times \\boldsymbol{\\beta}_2 \\tag{56} $$（三）Thomas 进动 #Thomas 进动指出，一个沿弯曲轨道运动（即存在不平行于速度方向的加速度）的粒子，其固有坐标系相对于实验室系的取向会发生一个纯粹相对论性的进动。\n在时刻 \\(t\\) 与 \\(t+dt\\) 粒子的瞬时静止系分别记为 \\(S\\) 与 \\(S'\\)。二者之间的变换可写成两个 boost 的复合\n$$ S \\to S' :\\quad \\hat{\\Lambda} = \\hat{Q}\\!\\left(\\boldsymbol{\\beta}+d\\boldsymbol{\\beta}\\right)\\hat{Q}\\!\\left(\\boldsymbol{- \\beta}\\right) \\tag{57} $$这里 \\(\\hat{Q}\\!\\left(\\boldsymbol{- \\beta}\\right)\\) 把 \\(S\\) 带回到实验室系，再用 \\(\\hat{Q}\\!\\left(\\boldsymbol{\\beta}+d\\boldsymbol{\\beta}\\right)\\) 把实验室系带到新的瞬时静止系 \\(S'\\)。其中 $$\\boldsymbol{\\beta} = \\frac{\\boldsymbol{v}}{c}, \\quad d\\boldsymbol{\\beta} = \\frac{\\boldsymbol{a} dt}{c} \\tag{58}$$ 利用 (42) 式，并考虑 \\(d\\boldsymbol{\\beta} \\ll \\boldsymbol{\\beta}\\)，保留一阶项，有 $$ \\boldsymbol{n} \\sin d\\phi \\approx \\frac{\\gamma^2 \\beta^2 - (\\gamma - 1)^2}{ - \\gamma^2 \\beta^2 + \\gamma^2 + 1} \\frac{ - \\boldsymbol{\\beta} \\times d\\boldsymbol{\\beta}}{\\beta^2} = \\frac{ 1- \\gamma }{\\beta^2} \\boldsymbol{\\beta} \\times d\\boldsymbol{\\beta} = \\frac{\\gamma^2}{\\gamma + 1} d\\boldsymbol{\\beta} \\times \\boldsymbol{\\beta} \\tag{59} $$ 即 $$\\boldsymbol{n} d{\\phi} = \\frac{\\gamma^2}{\\gamma + 1} d\\boldsymbol{\\beta} \\times \\boldsymbol{\\beta} = \\frac{\\gamma^2}{\\gamma + 1} \\frac{dt}{c^2} \\boldsymbol{a} \\times \\boldsymbol{v} \\tag{60}$$ 因此 Thomas 进动的角速度为 $$ \\boldsymbol{\\omega}_T = \\frac{\\gamma^2}{\\gamma + 1} \\frac{ \\boldsymbol{a} \\times \\boldsymbol{v} }{c^2} \\tag{61} $$ 若 \\(v \\ll c\\)，则 $$ \\boldsymbol{\\omega}_T \\approx \\frac{1}{2} \\frac{ \\boldsymbol{a} \\times \\boldsymbol{v} }{c^2} \\tag{62} $$ 带入 Bohr 氢原子轨道模型，得 $$ \\omega_T = \\frac{\\mu_0}{8\\pi} \\frac{m e^8}{(4\\pi \\epsilon_0)^3 (n \\hbar)^5} \\tag{63} $$（四）代数结构 #Wigner 转动来自于 Lorentz boost 生成元 \\(\\hat{\\boldsymbol{K}}\\) 的非零对易子。\n设两次 Lorentz boost 快度分别为 \\(\\boldsymbol{\\eta}^1, \\boldsymbol{\\eta}^2\\)，即\n$$ \\boldsymbol{\\eta}^1 = (\\sh^{-1} \\beta_{1}\\gamma_1) \\frac{\\boldsymbol{\\beta}_1}{\\beta_1} \\tag{64} $$$$ \\boldsymbol{\\eta}^2 = (\\sh^{-1} \\beta_{2}\\gamma_2) \\frac{\\boldsymbol{\\beta}_2}{\\beta_2} \\tag{65} $$故 $$ \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}_1) = \\exp\\left(i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}} \\right) \\tag{66} $$ $$ \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}_2) = \\exp\\left(i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}\\right) \\tag{67} $$由于 $$ \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}_2) \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}_1) = \\hat{Q}(\\boldsymbol{\\beta}) \\hat{R} \\tag{68} $$即 $$ \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) = \\exp(i \\boldsymbol{\\eta} \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\hat{R} \\tag{69} $$根据对称性，有\n$$ \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) = \\exp(i \\boldsymbol{\\eta} \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\hat{R}^{-1} \\tag{70} $$因此 $$ \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) = \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\exp(i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}) \\hat{R}^2 \\tag{71} $$由 Baker-Campbell-Hausdorff 公式，有\n$$ \\hat{R}^2 = \\exp\\left( \\left[i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}, i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}\\right] + \\frac{1}{2}\\left[ \\left[i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}, i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}} \\right], i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}} + i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}\\right] + \\cdots \\right) \\quad \\text{(72)} $$考虑 \\(\\beta_1, \\beta_2 \\to 0\\) 的低阶近似\n$$ \\begin{align} \\hat{R}^2 \u0026 \\approx \\exp\\left(\\left[i \\boldsymbol{\\eta}^2 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}, i \\boldsymbol{\\eta}^1 \\cdot \\hat{\\boldsymbol{K}}\\right]\\right) \\notag \\\\ \u0026 =\\exp\\left(\\left[i {\\eta}^2_i \\hat{K}_i, i {\\eta}^1_j \\hat{K}_j \\right]\\right) \\notag \\\\ \u0026 =\\exp\\left(- {\\eta}^2_i {\\eta}^1_j \\left[\\hat{K}_i, \\hat{K}_j \\right]\\right) \\notag \\\\ \u0026 = \\exp\\left( i {\\eta}^2_i {\\eta}^1_j \\varepsilon_{ijk} \\hat{J}_k \\right) \\notag \\\\ \u0026 = \\exp\\left( - i (\\boldsymbol{\\eta}^1 \\times \\boldsymbol{\\eta}^2 ) \\cdot \\hat{\\boldsymbol{J}} \\right) \\tag{73} \\end{align} $$ 故 $$ \\hat{R} \\approx \\exp\\left( - \\frac{i}{2} (\\boldsymbol{\\eta}^1 \\times \\boldsymbol{\\eta}^2 ) \\cdot \\hat{\\boldsymbol{J}} \\right) \\tag{74} $$转角 $$ \\boldsymbol{n} \\phi \\approx \\frac{1}{2} \\boldsymbol{\\eta}^1 \\times \\boldsymbol{\\eta}^2 \\approx \\frac{1}{2} \\boldsymbol{\\beta}_1 \\times \\boldsymbol{\\beta}_2 \\tag{75} $$","date":"2025.8.19","permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/wigner-rotation/","section":"Jottings","summary":"Wigner 转动指出，对坐标系按序作用两个任意方向的 Lorentz boost，其等效于一个 Lorentz boost 和一个空间转动。本文将尝试讨论一般情况下的 Wigner 转动。","title":"Wigner 转动的一般情况"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/mechanics/","section":"Tags","summary":"","title":"Mechanics"},{"content":" 问题的提出 #对多自由度体系（例如，自由度为 \\(n\\) ）稳定平衡位置附近的一阶小振动的处理，即是处理微分方程组 $$ \\bm{\\ddot{x}} = -\\mathbf{A} \\bm{x} \\tag{1} $$ 其解可形式地记为 $$ \\bm{x}=\\bm{x_1}\\exp\\left(i\\mathbf{A^\\frac{1}{2}}\\ t \\right) + \\bm{x_2}\\exp\\left(-i \\mathbf{A^\\frac{1}{2}}\\ t \\right) \\tag{2} $$ 假设 \\(\\mathbf{A}\\) 可对角化，则可令 $$ \\mathbf{A} = \\mathbf{P}\\mathbf{\\Lambda}\\mathbf{P^{-1}} \\tag{3} $$ 利用 Taylor 展开，从而 (2) 式化为 $$ \\bm{x}=\\bm{x_1}\\mathbf{P}\\exp\\left(i\\mathbf{\\Lambda^\\frac{1}{2}}\\ t \\right)\\mathbf{P^{-1}} + \\bm{x_2}\\mathbf{P}\\exp\\left(- i \\mathbf{\\Lambda^\\frac{1}{2}}\\ t \\right)\\mathbf{P^{-1}} \\tag{4} $$ 其中 $$ \\exp(i\\mathbf{\\Lambda^{\\frac{1}{2}}}\\ t) = \\begin{bmatrix} \\exp(i\\lambda_1^{\\frac{1}{2}}\\ t) \u0026 0 \u0026 0 \u0026 \\\\ 0 \u0026 \\exp(i\\lambda_2^{\\frac{1}{2}}\\ t) \u0026 0 \u0026 \\cdots \\\\ 0 \u0026 0 \u0026 \\exp(i\\lambda_3^{\\frac{1}{2}}\\ t) \u0026 \\\\ \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \\end{bmatrix} \\tag{5} $$ 从而 (4) 式即为该微分方程组的解。\n换一种更加常见的说法，许多教材是这么讲简正模的，即对于 (1)，取试探解 $$ \\bm{x} = \\bm{x_0} \\cos (\\omega t + \\varphi) \\tag{6} $$ 代入得 $$ (\\mathbf{A}-\\omega^2)\\bm{x_0}=0 \\tag{7} $$ 解 \\(\\bm{x_0}\\) 非平凡，故 $$ \\det(\\mathbf{A} - \\mathbf{\\omega^2} \\mathbf{I}) = 0 \\tag{8} $$ 可解得简振频率 \\(\\omega_i\\) 以及对应的特征值 \\(\\bm{x_i}\\) \\((i=1,2,\\cdots, n)\\) ，从而 (1) 的解为 $$ \\bm{x}=\\sum_i \\ \\bm{x_i} \\cos (\\omega_i t + \\varphi_i) \\tag{9} $$ 在许多力学的教材中，都不加证明地认为\n系数矩阵 \\(\\mathbf{A}\\) 的特征值 \\(\\lambda_i \u003e0\\) \\(\\mathbf{A}\\) 可对角化，即 \\(\\mathbf{A}\\) 的几何重数 \\(=n\\) 即是说，对多自由度体系稳定平衡位置附近的一阶小振动，存在与其自由度数量相等的简正坐标。\n\\(\\lambda_i \u003e0\\) 意即其描述的运动为简正模式， \\(\\mathbf{A}\\) 的几何重数 \\(=n\\) 意即简正坐标的数量与体系自由度一致。从而说，存在与其自由度数量相等的简正坐标 。\n本文即意在对于其存在性展开讨论。\n同样地，在另一种说法下，即是说，上述『 可解得简振频率 \\(\\omega_i\\) 以及对应的特征值 \\(\\bm{x_i}\\) \\((i=1,2,\\cdots, n)\\) 』并不显然成立。即\n\\(\\omega _i\\) 为虚数，即 \\(\\omega_i^2\u003c0\\) 的情况 系数矩阵 \\(\\mathbf{A}\\) 的几何重数 \\(\u003c n\\) 的情况。即是说，即使在 \\(\\mathbb{C}\\) 内，也不一定存在 \\(n\\) 个线性无关的特征值 \\(\\bm{x_i}\\) ，当其对应的特征值有简并时，这是可能发生的。从而 \\(\\bm{x}\\) 存在不能表示成三角函数（或有限个三角函数相加的）形式的特解 这两点与正文中的两点是等价的。对于是否会发生这些情况，这是我们需要讨论的。\n简正坐标的存在性 #对多自由度体系稳定平衡位置附近的一阶小振动，其动力学方程可写作 $$ \\mathbf{M}\\bm{\\ddot{x}}+\\mathbf{K}\\bm{x}=0 \\tag{10} $$ 其中矩阵 \\(\\mathbf{M}\\), \\(\\mathbf{K}\\) 应当均是（实对称的）正定矩阵。从而 (1) 中的系数矩阵 \\(\\mathbf{A}\\) 可表示为 $$ \\mathbf{A} = \\mathbf{M^{-1}K} \\tag{11} $$ 考虑到 \\(\\mathbf{M}\\) 正定，故上式可表为 $$ \\mathbf{A} = \\mathbf{M^{-\\frac{1}{2}}\\ M^{-\\frac{1}{2}}\\ K\\ M^{-\\frac{1}{2}}\\ M^{\\frac{1}{2}}} \\tag{12} $$ 且其中 \\(\\mathbf{M^{-\\frac{1}{2}}\\ K\\ M^{-\\frac{1}{2}}}\\) 为实对称矩阵，可令 $$ \\mathbf{M^{-\\frac{1}{2}}\\ K\\ M^{-\\frac{1}{2}}} = \\mathbf{P\\Lambda P^{-1}} \\tag{13} $$ 从而 $$ \\mathbf{A} = \\mathbf{M^{-\\frac{1}{2}} P\\Lambda P^{-1} M^{\\frac{1}{2}}} \\tag{14} $$ 这表明 $$ \\boxed{\\mathbf{系数矩阵\\ A\\ 可对角化}} \\notag $$ 对于 \\(\\mathbf{A}\\) 的特征方程 $$ \\mathbf{A}\\bm{x} = \\mathbf{M^{-1}K}\\bm{x} = \\lambda \\bm{x} \\tag{15} $$ 即 $$ \\mathbf{K}\\bm{x} = \\lambda\\ \\mathbf{M}\\bm{x} \\tag{16} $$ 考虑在等式两边左乘 \\(\\bm{x^T}\\) ，得到 $$ \\bm{x^T} \\mathbf{K} \\bm{x} = \\lambda\\ \\bm{x^T} \\mathbf{M}\\bm{x} \\tag{17} $$ 注意到 \\(\\mathbf{M}\\), \\(\\mathbf{K}\\) 均是正定矩阵，有 $$ \\bm{x^T} \\mathbf{K} \\bm{x} \u003e 0 \\ ,\\quad \\bm{x^T} \\mathbf{M}\\bm{x} \u003e 0 \\tag{18} $$ 从而 $$ \\lambda \u003e 0 \\tag{19} $$ 这表明 $$ \\boxed{\\mathbf{系数矩阵 \\ A\\ 的特征值\\ }\\lambda \u003e0} \\notag $$ 从而说，对多自由度体系稳定平衡位置附近的一阶小振动，存在与其自由度数量相等的简正坐标。\n","date":"2025.7.23","permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/normal-mode/","section":"Jottings","summary":"对于力学系统在其稳定平衡位置附近的一阶小振动，存在与其自由度数量相等的简正模式","title":"小振动的简正坐标存在性验证"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/thermodynamics/","section":"Tags","summary":"","title":"Thermodynamics"},{"content":" ​\t费恩曼在他的物理学讲义第一卷§39-4中提到，如果光滑绝热的活塞两边压强相等而温度不相等，即便所有的传热都不考虑，能量也会通过活塞的微小振动从高温气体传递到低温气体。\n​\t本文尝试从微观角度考察活塞能否平衡以及达到末态平衡的过程。\n我们以一个简单的模型为例展开讨论：如 图 1 所示，一光滑绝热活塞将绝热容器分为两部分。对活塞，截面积记为 \\(A\\) ，质量记为 \\(M\\). 对气体，单个分子质量记为 \\(m({\\ll}M)\\)，等压平衡常数记为 \\(C^{mol}_p\\) ，可视为理想气体。\n对初态，左侧气体物质的量为 \\(\\nu_1\\) 、压强为 \\(p_0\\)、温度为 \\(T_{10}\\) ，右侧气体物质的量为 \\(\\nu_2\\) 、压强为 \\(p_0\\) 、温度为 \\(T_{20}(\u003eT_{10})\\) 。\n对过程中某 \\(t\\) 时刻，记左侧气体压强为 \\(p\\) 、温度为 \\(T_{1}\\)，右侧气体压强为 \\(p\\) 、温度为 \\(T_{2}\\)。活塞的速度为 \\(u\\)（约定向右为正）。\n图 1 气体分子与活塞的碰撞 #某时刻板速为 \\(u\\)，对左侧某气体分子，速度垂直分量 \\(v_x\\)，\n该气体分子与活塞发生碰撞，碰后速度 $$ v_x' =\\frac{\\left ( m-M \\right )v_x+2Mu }{M+m} \\tag{1} $$能量变化 #该气体分子碰撞前后能量变化\n$$ \\begin{align} \\triangle \\varepsilon\\left ( v_x \\right )=\u0026\\frac{1}2{} m\\left ( v_x'^2 -v_x^2 \\right ) \\notag \\\\ =\u0026 2Mm\\frac{Mu^2-\\left ( M-m \\right )uv_x-mv_x^2 }{\\left ( M+m \\right )^2 } \\tag{2} \\end{align} $$考虑到 \\(u\\) 的随机性。取平均，得\n$$ \\left \\langle \\triangle \\varepsilon \\right \\rangle _{(v_x)}=\\frac{2Mm}{\\left ( M+m \\right )^2}\\left ( M\\left \\langle u^2 \\right \\rangle - (M - m) v_x \\left \\langle u \\right \\rangle - mv_x^2 \\right ) \\tag{3} $$考虑到 \\(\\sqrt{\\frac{kT_1}{m} }\\gg u\\) ，从而取 \\(v_x\\in[0,+{\\infty}]\\) ，得到左侧气体单位时间能量变化\n$$ \\begin{align} P_1 \u0026=\\int_{0}^{\\infty }\\triangle \\varepsilon _{\\left ( v_x \\right )}v_xAn_1\\sqrt{\\frac{m}{2\\pi kT_1} }e^{-\\frac{m}{2kT_1}v_x^2}dv_x \\notag \\\\ \u0026=\\frac{2Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }An_1\\sqrt{\\frac{m}{2\\pi kT_1} }\\frac{kT_1}{m}\\left ( M\\left \\langle u^2 \\right \\rangle - \\sqrt{\\frac{\\pi k T_1}{2 m}} (M-m) \\left \\langle u \\right \\rangle - 2kT_1 \\right ) \\notag \\quad \\text{(4)} \\end{align} $$由 \\(p=n_1kT_1\\) ，从而\n$$ P_1=\\frac{2Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }Ap \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi kT_1} } \\frac{1}{m} \\left ( M\\left \\langle u^2 \\right \\rangle - \\sqrt{\\frac{\\pi k T_1}{2 m}} (M-m) \\left \\langle u \\right \\rangle - 2kT_1 \\right ) \\quad \\text{(5)} $$活塞等效温度 #考虑记\n$$ \\left \\langle u \\right \\rangle=0\\quad,\\quad\\frac{1}2M\\left \\langle u^2 \\right \\rangle = \\frac{1}2kT_0 \\tag{6} $$其中 \\(T_0\\) 即为活塞的等效温度。注意，实际上 \\(\\left \\langle u \\right \\rangle \\neq 0\\) ，但后续可验证 \\(\\left \\langle u^2 \\right \\rangle \\gg \\sqrt{\\frac{\\pi k T_1}{2 m}} \\left \\langle u \\right \\rangle\\) ，从而 \\(\\left \\langle u \\right \\rangle\\) 可以忽略。从而\n$$ P_1=\\frac{2Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }Ap \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi kT_1} } \\frac{1}{m} \\left ( kT_0-2kT_1 \\right ) \\tag{7} $$同理，右侧气体单位时间能量变化为\n$$ P_2=\\frac{2Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }Ap \\sqrt{\\frac{m}{2\\pi kT_2} } \\frac{1}{m} \\left ( kT_0-2kT_2 \\right ) \\tag{8} $$考虑到 \\(\\frac{1}{2}M\\left \\langle u^2 \\right \\rangle\\ll \\nu_{1,2}C^{mol}_VT_{1,2}\\) ，从而系统能量守恒可写作\n$$ P_1+P_2=0 \\tag{9} $$故\n$$ \\frac{T_0}{\\sqrt{T_1}}-2\\sqrt{T_1}+\\frac{T_0}{\\sqrt{T_2} }-2\\sqrt{T_2}=0 \\tag{10} $$$$ T_0=2\\sqrt{T_1T_2} \\tag{11} $$能流 #将 (11) 式代入 (7) 式，得到右侧气体向左侧的能流\n$$ P=\\frac{4Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }A\\sqrt{\\frac{k}{2\\pi m} }p\\left ( \\sqrt{T_2}-\\sqrt{T_1} \\right ) \\tag{12} $$热力学量 #对初态 $$ p_0V_{10}={\\nu} _1RT_{10}, \\quad p_0V_{20}=\\nu_2RT_{20} \\tag{13} $$过程中某态 $$ pV_1=\\nu_1 RT_1, \\quad pV_2=\\nu_2 RT_2 \\tag{14} $$同样地，考虑到 \\(\\frac{1}{2}M\\left \\langle u^2 \\right \\rangle\\ll \\nu_{1,2}C^{mol}_VT_{1,2}\\) ，从而系统能量守恒可写作\n$$ \\nu _1C^{mol}_vT_{10}+\\nu _2C^{mol}_vT_{20}=\\nu _1C^{mol}_vT_1+\\nu _2C^{mol}_vT_2 \\tag{15} $$由 $$ V_{10}+V_{20}=V_1+V_2 \\tag{16} $$故 $$ p=p_0 \\tag{17} $$热力学量满足的微分方程 #对 \\(t\\) ~ \\(t+dt\\) 的时间微元，设活塞右移 \\(dx\\)，对左侧气体列能量守恒方程 $$ \\nu _1C_V^{mol}dT_1=Pdt-p_0Adx \\tag{18} $$又，由 (17) 知压强恒定，故\n$$ \\frac{dT_1}{T_1}-\\frac{Adx}{V_1}=0 \\tag{19} $$即 $$ p_0Adx=\\nu _1RdT_1 \\tag{20} $$代入 (18) 式得 $$ \\nu _1C_p^{mol}dT_1=Pdt \\tag{21} $$代入 (12) 式，消去 \\(P\\)，得到 $$ \\nu _1C_p^{mol}dT_1=\\frac{4Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }A\\sqrt{\\frac{k}{2\\pi m} }p_0\\left ( \\sqrt{T_2}-\\sqrt{T_1} \\right )dt \\tag{22} $$与 (15) 式联立即为 \\(T_1(t)\\)，\\(T_2(t)\\) 所满足的微分方程组\n$$ \\begin{cases} \\ \\nu _1T_{10}+\\nu _2T_{20}=\\nu _1T_1+\\nu _2T_2 \\\\\\\\ \\ \\nu _1C_P^{mol}\\frac{dT_1}{dt}=\\frac{4Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }A\\sqrt{\\frac{k}{2\\pi m} }P_0\\left ( \\sqrt{T_2}-\\sqrt{T_1} \\right ) \\end{cases} \\tag{23} $$近似求解 #(23) 式无法直接求解。考查 \\(T_{10}-T_{20}=\\delta T_0\\ll T_1,T_2\\) 的情况，对末态有 $$ T_f=\\frac{\\nu _1T_{10}+\\nu _2T_{20}}{\\nu _1+\\nu _2} \\tag{24} $$对过程中状态，设 \\(\\delta T=T_1-T_2\\) 从而 $$ {\\begin{cases}T_1=T_f+\\frac{\\nu _2}{\\nu _1+\\nu _2}\\delta T \\\\T_2=T_f-\\frac{\\nu _1}{\\nu _1+\\nu _2}\\delta T\\end{cases}} \\tag{25} $$代入 (22) 式，保留一阶小量，得到 $$ \\frac{d\\left ( \\delta T \\right ) }{\\delta T}=-\\frac{2Mm}{\\left ( M+m \\right )^2 }A\\sqrt{\\frac{kT_f}{2\\pi m} }p_0\\frac{1}{T_f}\\frac{1}{C_p^{mol}}\\frac{\\nu_1+\\nu _2}{\\nu _1\\nu _2}dt \\tag{26} $$即 $$ \\delta T=\\delta T_0 e^{-\\frac{t}{\\tau }} \\tag{27} $$ $$ T_1-T_2=(T_{10}-T_{20}) e^{-\\frac{t}{\\tau }} \\tag{28} $$ 其中 $$ \\begin{align} \\tau \u0026=\\frac{\\left ( M+m \\right )^2 }{2Mm}\\frac{T_f}{Ap_0}\\sqrt{\\frac{2\\pi m}{kT_f} }C_p^{mol}\\frac{\\nu _1\\nu _2}{\\nu _1+\\nu _2} \\notag \\\\ \u0026=\\frac{\\left ( M+m \\right )^2 }{2Mm}\\frac{1}{Ap_0}\\sqrt{\\frac{2\\pi m}{k}·\\frac{\\nu _1T_{10}+\\nu _2T_{20}}{\\nu _1+\\nu _2}}C_p^{mol}\\frac{\\nu _1\\nu _2}{\\nu _1+\\nu _2} \\tag{29} \\end{align} $$为该过程的特征时间。\n参考代入数值 \\(M=10^{-3}kg,m=5\\times 10^{-26}kg,A=10^{-2}m^2,p_0=1atm,T_{10}=310K,T_{20}=300K,\\nu_1=\\nu_2=10mol,C^{mol}_p=\\frac{7}{2}R\\) ，得到\n$$ \\tau \\approx 1.2\\times10^{14}a(年) \\tag{30} $$从而在宏观体系中这一效应可以忽略。（此外，有 \\(\\left \\langle u \\right \\rangle \\sim \\frac{l}{\\tau}\\)，\\(l \\sim \\frac{\\nu R T}{p A}\\) 为容器线度。从而前面的假设\\(\\left \\langle u^2 \\right \\rangle \\gg \\sqrt{\\frac{\\pi k T_1}{2 m}} \\left \\langle u \\right \\rangle\\)也就自然成立了）\n","date":"2025.6.26","permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/smooth-insulated-piston/","section":"Jottings","summary":"如果光滑绝热的活塞两边压强相等而温度不相等，即便所有的传热都不考虑，能量也会通过活塞的微小振动从高温气体传递到低温气体。","title":"光滑绝热活塞的平衡条件"},{"content":" 纸上算算可比蹦极轻松多了 (￣﹃￣')\n考虑弹性绳弹性模量为 \\(Y\\) ，自由状态(无重力)下原长为 \\(l\\) ，截面积为 \\(S_0\\) ，线质量密度为 \\(\\lambda\\) ，泊松比取 \\(\\frac{1}{2}\\)（即介质不可压缩），其一端固定于定点O，另一端与质量为 \\(M\\) 的重物相连。整个体系竖直悬挂，重力加速度为 \\(g\\) . 仅考虑弹性绳的纵向振动。\n图 1 约定原长坐标 \\(x\\) 为自由状态下弹性绳上某处到O的距离，伸长量坐标 \\(\\xi{(x)}\\) 为弹性绳上原长坐标为 \\(x\\) 处所产生的位移(向下为正)。\n绳上拉力分布 \\(F(x)\\) #弹性绳不可压缩，从而 $$ S\\cdot(\\mathrm{d}x+\\mathrm{d}\\xi)=S_0\\cdot\\mathrm{d}x \\tag{1} $$ 由 $$ \\frac{F}{S}=Y\\frac{\\partial \\xi}{\\partial x} \\tag{2} $$ 故 $$ F(x)=S_0 Y\\frac{\\frac{\\partial \\xi}{\\partial x}}{1+\\frac{\\partial \\xi}{\\partial x}} \\tag{3} $$波动方程 #对 \\(x\\,{\\backsim}\\,x+dx\\) 微元，有 $$ \\lambda dx\\cdot\\frac{\\partial^2\\xi}{\\partial t^2}=\\lambda dx\\cdot g+F(x+dx)-F(x) \\tag{4} $$将 (3) 式代入得\n$$ \\lambda\\frac{\\partial^2\\xi}{\\partial t^2}=\\lambda g+\\frac{S_0Y}{(1+\\frac{\\partial\\xi}{\\partial x})^2}\\frac{\\partial^2\\xi}{\\partial x^2} \\tag{5} $$边界条件 $$ \\begin{cases} \\xi|_{x=0}=0\\\\ M\\cdot\\frac{\\partial^2\\xi}{\\partial t^2}|_{x=l}=Mg-S_0Y\\frac{(\\frac{d\\xi}{dx})|_{x=l}}{1+(\\frac{d\\xi}{dx})|_{x=l}} \\end{cases} \\tag{6} $$稳态解 #无振动状态下的稳态解为 \\(\\xi_0(x)\\) ，从而 \\(\\frac{\\partial^2\\xi _0}{\\partial t^2}=0\\)，故 (5) 式化为\n$$ \\lambda g+\\frac{S_0Y}{(1+\\frac{d\\xi _0}{dx})^2}\\frac{d^2\\xi _0}{d x^2} = 0 \\tag{7} $$积分得到\n$$ \\frac{d\\xi_0 }{dx}=\\frac{Mg+\\lambda (l-x)g }{S_0Y-Mg-\\lambda( l-x)g } \\tag{8} $$故 $$ \\xi_0 \\left ( x \\right ) =\\frac{S_0Y}{lg} ln\\left ( \\frac{S_0Y-Mg-\\lambda lg+\\lambda xg}{S_0Y-Mg-\\lambda lg} \\right ) -x \\tag{9} $$小幅振动近似 #对小幅振动的情况，记 $$ \\xi(x,t)=\\xi_0(x)+\\delta(x,t) \\quad , \\delta\\ll\\xi_0 \\tag{10} $$代入 (5) 式，取一阶近似，得\n$$ \\lambda\\frac{\\partial^2\\xi}{\\partial t^2}=\\lambda g+\\frac{S_0Y}{(1+\\frac{d\\xi_0}{dx})^2}[\\frac{d^2\\xi_0}{dx^2}+\\frac{\\partial^2\\delta}{\\partial x^2}-2\\frac{d^2\\xi_0}{dx^2}\\frac{\\frac{\\partial\\delta}{\\partial x}}{1+\\frac{d\\xi_0}{dx}}] \\tag{11} $$将 (9) 式代入，化简得到小幅振动情况下一阶近似后的方程 $$ \\lambda\\frac{\\partial^2\\xi}{\\partial t^2}=\\frac{[S_0Y-Mg-\\lambda g(l-x)]^2}{S_0Y}\\frac{\\partial^2\\delta}{\\partial x^2}+2\\lambda g\\frac{S_0Y-Mg-\\lambda g(l-x)}{S_0Y}\\frac{\\partial\\delta}{\\partial x} \\quad \\text{(12)} $$变量分离，令 \\(\\delta(x,t) =A(x)B(t)\\) ，则上式可化为\n$$ \\frac{1}{B} \\lambda \\frac{d^2B}{dt^2} =\\left \\{ \\frac{\\left [ S_0Y-Mg-\\lambda \\left ( l-x \\right )g \\right ]^2}{S_0Y} \\frac{d^2A}{dx^2} +2\\lambda g\\frac{S_0Y-Mg-\\lambda \\left ( l-x \\right )g }{S_0Y} \\frac{dA}{dx} \\right \\} \\frac{1}{A} \\quad \\text{(13)} $$等式左侧仅与 \\(t\\) 相关，右侧仅与 \\(x\\) 相关，因此左右式均等于常数，设其为 \\(-\\lambda w^2\\) ， 则左式\n$$ \\frac{1}{B} \\lambda \\frac{d^2B}{dt^2}=-\\lambda w^2 \\tag{14} $$$$ B\\left ( t\\right )=B_o\\cos \\left ( wt+\\varphi \\right ) \\tag{15} $$右式 $$ \\frac{\\left [ S_0Y-Mg-\\lambda \\left ( l-x \\right )g \\right ]^2 }{S_0Y} \\frac{d^2A}{dx^2} +2\\lambda g\\frac{S_0Y-Mg-\\lambda \\left ( l-x \\right )g}{S_0Y}\\frac{dA}{dx}+\\lambda w^2A=0 \\quad \\text{(16)} $$这是 Euler 方程，令\n$$ t=ln\\left ( S_0Y-Mg-\\lambda lg+\\lambda gx \\right ) \\tag{17} $$代回 (16) 式得 $$ \\frac{d^2A}{dt^2}+\\frac{dA}{dt}+\\frac{w^2S_0Y }{\\lambda g^2}A=0 \\tag{18} $$对应特征方程 $$ \\lambda ^2+\\lambda +\\frac{w^2S_0Y }{\\lambda g^2}=0 \\tag{19} $$$$ \\lambda_{1,2}=\\frac{-1\\pm \\sqrt{1-4\\frac{w^2S_0Y}{\\lambda g^2} } }{2} \\tag{20} $$故 $$ A=A_1e^{\\lambda_1t}+A_2e^{\\lambda_2t} \\tag{21} $$$$ \\delta =\\left [ A_1\\left ( S_0Y-Mg-\\lambda lg+\\lambda xg \\right )^{\\lambda_1}+A_2\\left ( S_0Y-Mg-\\lambda lg+\\lambda xg \\right ) ^{\\lambda_2} \\right ]\\cos \\left ( wt+\\varphi \\right ) \\quad \\text{(22)} $$（常数 \\(B_0\\) 吸收进 \\(A_1,A_2\\) ）\n对边界条件 (6) ，同样取一阶近似，得 $$ \\begin{cases} \\delta|_{x=0}=0\\\\ M\\frac{\\partial ^2\\delta }{\\partial t^2}|_{x=l}=Mg-S_0Y\\frac{\\frac{d\\xi_0}{dx}}{1+\\frac{d\\xi_0}{dx}}|_{x=l}-S_0Y\\frac{\\frac{\\partial \\delta}{\\partial x}}{1+\\frac{d\\xi_0}{dx}}|_{x=l} \\end{cases} \\tag{23} $$将 (9) 式代入，消去 \\(\\xi_0\\) ，得 $$ \\begin{cases} \\delta|_{x=0}=0\\\\ M\\frac{\\partial ^2\\delta }{\\partial t^2}|_{x=l}=-\\frac{(S_0Y-Mg)^2}{S_0Y}\\frac{\\partial\\delta}{\\partial x}|_{x=l} \\end{cases} \\tag{24} $$ 将(31)式代入，消去 \\(\\delta\\) ，得 $$ {\\begin{cases} A_1\\left ( S_0Y-Mg-\\lambda lg \\right ) ^{\\lambda _1-\\lambda _2}+A_2=0\\\\ w^2M\\left [ A_1\\left ( S_0Y-Mg \\right )^{\\lambda _1-\\lambda _2} +A_2 \\right ]=\\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\\lambda g [ A_1\\lambda _1\\left ( S_0Y-Mg )^{\\lambda _1-\\lambda _2}+A_2\\lambda _2 \\right ] \\end{cases}} \\quad \\text{(25)} $$这是关于 \\(A_1,\\ A_2\\) 的齐次线性方程组，其非平凡解要求系数行列式为 \\(0\\)，从而得到关于 \\(\\omega\\) 的方程 $$ w^2M\\left [ \\left ( \\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\\lambda lg} \\right )^{\\lambda _1-\\lambda _2} -1 \\right ] =\\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\\lambda g \\left[ \\lambda _1(\\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\\lambda lg})^{\\lambda _1-\\lambda _2} -\\lambda _2 \\right ] \\quad \\text{(26)} $$若 $$ 4\\frac{w^2S_0Y}{\\lambda g^2} \u003e 1 \\tag{27} $$则 \\(\\lambda_1,\\lambda_2\\) 为复数，记\n$$ \\lambda _{1,2}=\\alpha \\pm \\beta i \\tag{28} $$其中 $$ \\alpha = - \\frac{1}{2} \\tag{29} $$$$ \\beta =\\sqrt{\\frac{w^2SoY}{\\lambda g^2}-\\frac{1}{4}} \\tag{30} $$代入 (26) 式，得到\n$$ \\begin{align} w^2M =\u0026 \\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\\lambda g\\left \\{ \\alpha +\\beta \\cot \\left [ \\beta ln\\left ( \\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\\lambda lg} \\right ) \\right ] \\right \\} \\notag \\\\ =\u0026 \\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\\lambda g\\left \\{ - \\frac{1}{2} +\\sqrt{\\frac{w^2S_0 Y}{\\lambda g^2}-\\frac{1}{4}}\\ \\cot \\left [ \\sqrt{\\frac{w^2SoY}{\\lambda g^2}-\\frac{1}{4}} \\ ln\\left ( \\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\\lambda lg} \\right ) \\right ] \\right \\} \\notag \\quad \\text{(31)} \\end{align} $$此即为 \\(\\omega\\) 满足的方程。\n","date":"2025.6.26","permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/vibration-of-elasticbody/","section":"Jottings","summary":"不可压缩弹性绳在重力场下的小幅振动。","title":"重力场下弹性体的振动"},{"content":"施工中\u0026hellip;\n","date":"2025.6.22","permalink":"https://trojanpt.github.io/about/","section":"Home","summary":"","title":"About"},{"content":" 本网站部分图片内容来自网络。\n如果您认为本网站的任何内容侵犯了您的版权，请 与我联系，我将及时处理。 除另有标注来源或特殊声明外， 本站 内容均采用 署名-非商业性使用 4.0 国际版 (Attribution-NonCommercial 4.0 International, CC BY-NC 4.0) 许可协议进行许可。\nCC BY-NC 4.0 ","date":"2025.6.22","permalink":"https://trojanpt.github.io/copyright/","section":"Home","summary":"","title":"Copyright"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/tags/electromagnetism/","section":"Tags","summary":"","title":"Electromagnetism"},{"content":" Ampere 定律给出了如何计算两电流源间作用力的方法，但实际上，现行的 Ampere 定律的形式并不是 Ampere 最初提出的形式，二者在数学形式上有所差异，但是对于稳恒情况，在物理上并无实际测量意义上的区别。\nAmpere 定律原始形式 $$ d\\vec{F}_{12} = -k i_1 i_2 \\vec{r}_{12} \\left[ (d\\vec{l}_{1} \\cdot d\\vec{l}_2) \\frac{2}{r_{12}^3} - (d\\vec{l}_{1} \\cdot \\vec{r}_{12}) (d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12}) \\frac{3}{r_{12}^5} \\right] \\notag $$现行的 Ampere 定律形式（Grassmann 形式） $$ d\\vec{F}_{12} = k \\ \\frac{i_1 i_2}{r_{12}^3} d\\vec{l}_2 \\times (d\\vec{l}_1 \\times \\vec{r}_{12}) \\notag $$ 本文将介绍 Ampere 定律的原始形式的推导过程，并对其与现行形式进行讨论。\n一、原始 Ampere 定律的导出过程 # Ampere 关于电流相互作用的理论建立在四个实验证据和一个假设之上（Ampere\u0026rsquo;s theory of the mutual action of electric currents is founded on four experimental facts and one assumption）\u0026quot;，Maxwell 在他的 A Treatise on Electricity and Magnetism 一书的最后一章中如此写道。本小节尝试从 Ampere 所做的四个实验以及他的一个假设出发，推导出原始的 Ampere 定律。\n实验依据 #Ampere 的四个实验均采用了“示零法”，即通过构造平衡状态判断电流间相互作用力大小相等的方式。考虑到地磁的干扰，Ampere 设计了如图 1 所示的测量装置，称其为“无定向秤“（astatic）。它在均匀磁场（如地磁场）中不受力和力矩，可以随遇平衡，但对于非均匀磁场将会作出反应。考虑到无定向秤本身产生的磁场，在实际的实验中，需要先接通无定向秤的电源，调整到平衡状态后，再接通实验电路，观察无定向秤是否作出反应。\n图 1 \u0026emsp;无定向秤 实验一\n如图 2 所示，通过对折导线得到两条平行、等量、相邻且方向相反的电流。实验发现其在接通电流时不会对无定向秤产生作用力。\n图 2 这表明当电流反向时，其产生的作用力也反向。一种简单的想法是，认为 $$ d\\vec{F}_{12} \\propto i_1 i_2 \\tag{1} $$ 结合实验二来看，这样的想法是合理的。\n实验二\n如图 3 所示，将对折导线的其中一条绕为弯曲导线。注意图中直导线的电流方向应改为沿HG方向，框架 EFKL 用于支撑实验电路并引导无定向秤与电源间的连接导线。实验电路同样对无定向秤（图中后方的装置）不产生作用。\n图 3 这表明电流元具有矢量的性质。即 $$ d\\vec{F}_{12} = d\\vec{F}_{12} (i_1, i_2, d\\vec{l}_1, d\\vec{l}_2, \\vec{r}_{12}) \\tag{2} $$ 实验三\n如图 4 所示，将一弧形导体架在水银槽上。导体与一绝缘柄固联，柄架在圆心 C 处的支点上。这样，既可通过水银槽给弧形导体通电，由通过绝缘柄的固定使弧形导体可绕圆心转动，从而构成一个只能沿长度方向移动，但不能作横向位移的电流元。安培用这样一个装置检验各种载流线圈对它产生的作用力，结果发现都不能使这弧形导体运动。\n图 4 这表明载流线圈作用在电流元上的力是与电流元垂直的。即 $$ (\\oint_{L_1}{d\\vec{F}_{12}}) \\cdot d\\vec{l}_2 = 0 \\tag{3} $$ 实验四\n如图 5 所示，在可动圆形回路 \\(P\\) 两侧设置固定的圆形回路 \\(E, E'\\)，一个直径缩小为原来的 \\(\\frac{1}{p}\\) ，另一个扩大为原来的 \\(p\\) 倍。同时，使 \\(E - P\\) 之间的距离与 \\(P - E'\\) 之间的距离比为 \\(1 : p\\) 。固定圆形回路 \\(E\\) 和 \\(E'\\) 串联在一起。实验结果发现，可动圆形回路在两个固定圆形回路的合作用力下保持平衡。\n图 5 这表明作用力大小与几何线度无关。一种简单的想法是，认为 $$ |d\\vec{F}_{12}| \\propto \\frac{|d\\vec{l}_1| |d\\vec{l}_2|}{|\\vec{r}_{12}|^2} \\tag{4} $$ 考虑到实验二，这样的想法是合理的。\n假设 #Ampere 以典型的牛顿力学风格进行假设，认为两电流元 \\(d\\vec{l}_1\\) 和 \\(d\\vec{l}_2 \\) 间的作用力遵循相互作用力的原理，从而方向沿 \\(\\vec{r}_{12}\\) 。\n推导过程 #根据假设，并考虑实验依据 (1) (2) , 可令 $$ d\\vec{F}_{12} = k i_1 i_2 \\varphi(d\\vec{l}_1, d\\vec{l}_2, \\vec{r}_{12}) \\hat{r}_{12} \\tag{5} $$ 其中 \\( \\varphi \\) 为标量值函数。\n考虑实验 (2)，表征电流元路径的 \\( d\\vec{l} \\) 表现出矢量性质，\n一种简单的认为是，\\( \\varphi \\) 对于 \\( d\\vec{l}_1 \\) 和 \\( d\\vec{l}_2 \\) 呈线性关系，\n从而，假设\n$$ \\varphi = \\varphi_1(\\vec{r}_{12})(d\\vec{l}_1 \\cdot d\\vec{l}_2) + \\varphi_2(\\vec{r}_{12})(d\\vec{l}_1 \\cdot \\vec{r}_{12})(d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12}) + \\varphi_3(\\vec{r}_{12})(d\\vec{l}_1 \\times d\\vec{l}_2) \\cdot \\vec{r}_{12} \\quad \\text{(6)} $$ 这么假设的原因在于，首先，\\( \\varphi \\) 中的项应为如下形式\n$$ (d{l}_1)_\\alpha (d{l}_2)_\\beta ({r}_{12})_\\gamma ({r}_{12})_\\mu \\cdots \\tag{7} $$① \\( \\alpha = \\beta \\)，此即 \\( (d\\vec{l}_1 \\cdot d\\vec{l}_2) \\) 项\n② \\( \\alpha \\neq \\beta \\)，由于 \\( \\varphi \\) 为标量值函数，从而有如下两种形式\n1） \\( (d{l}_1)_\\alpha (d{l}_2)_\\beta ({r}_{12})_\\alpha ({r}_{12})_\\beta \\cdots \\)\n即 \\( (d\\vec{l}_1 \\cdot \\vec{\\gamma}_{12})(d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{\\gamma}_{12}) \\) 项\n2） \\( \\varepsilon_{\\gamma\\alpha\\beta} (d{l}_1)_\\alpha (d{l}_2)_\\beta ({r}_{12})_\\gamma \\cdots \\)\n即 \\( (d\\vec{l}_1 \\times d\\vec{l}_2) \\cdot \\vec{\\gamma}_{12} \\) 项\n考虑（4），从而 $$ d\\vec{F}_{12} = i_1 i_2 \\vec{r}_{12} \\left[ (d\\vec{l}_1 \\cdot d\\vec{l}_2) \\frac{A}{r_{12}^3} + (d\\vec{l}_1 \\cdot \\vec{r}_{12})(d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12}) \\frac{B}{r_{12}^5} + (d\\vec{l}_1 \\times d\\vec{l}_2) \\cdot \\vec{r}_{12} \\frac{C}{r_{12}^4} \\right] \\quad \\text{(8)} $$ 考虑（3），如图示\n图 6 此时 \\(d\\vec{l}_1 = - d\\vec{r}_{12}\\)\n注意（3）式 $$ \\left( \\oint_{L_1} d\\vec{F}_{12} \\right) \\cdot d\\vec{l}_{2} = \\oint_{L_1} (d\\vec{F}_{12} \\cdot d\\vec{l}_{2}) = 0 \\tag{9} $$ 该等式与路径 \\(L_1\\) 无关，从而 \\(d\\vec{F}_{12} \\cdot d\\vec{r}_{12}\\) 是某势函数 \\(\\phi\\) 的微分，\n即 \\( d\\phi = d\\vec{F}_{12} \\cdot d\\vec{l}_{2} \\)\n对 \\(\\phi\\) ，考虑上式，有 $$ d\\phi \\propto \\frac{|d\\vec{r}_{12}| |d\\vec{l}_2|^2}{|\\vec{r}_{12}|^2} \\tag{10} $$ $$ \\phi \\propto \\frac{|d\\vec{l}_2|^2}{|\\vec{r}_{12}|} \\tag{11} $$ 从而，将 \\(\\phi\\) 形式地表为 $$ \\phi = (d\\vec{l}_2 \\cdot d\\vec{l}_2) \\frac{a}{r_{12}} + (d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12})^2 \\frac{b}{r_{12}^3} + (d\\vec{l}_2 \\times \\vec{r}_{12})^2 \\frac{c}{r_{12}^3} \\tag{12} $$ 取微分，得 $$ \\begin{align} d\\phi = \u0026 - (d\\vec{l}_2 \\cdot d\\vec{l}_2) \\frac{a \\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{r}_{12}}{r_{12}^3} + \\notag \\\\ \u0026\\ 2(d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12})(d\\vec{l}_2 \\cdot d\\vec{r}_{12}) \\frac{b}{r_{12}^3} - 3(d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12})^2 \\frac{b \\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{r}_{12}}{r_{12}^5} + \\notag \\\\ \u0026\\ 2(d\\vec{l}_2 \\times \\vec{r}_{12}) \\cdot (d\\vec{l}_2 \\times d\\vec{r}_{12}) \\frac{c}{r_{12}^3} - 3(d\\vec{l}_2 \\times \\vec{r}_{12})^2 \\frac{c \\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{r}_{12}}{r_{12}^5} \\tag{13} \\end{align} $$ 又由（5），有 $$ d\\vec{F}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2 = -i_1 i_2 (\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2) \\left[ (d\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2) \\frac{A}{r_{12}^3} + (d\\vec{r}_{12} \\cdot \\vec{r}_{12}) (d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12}) \\frac{B}{r_{12}^5} + (d\\vec{r}_{12} \\times d\\vec{l}_2) \\cdot \\vec{r}_{12} \\frac{C}{r_{12}^4} \\right] \\quad \\text{(14)} $$ 且 \\( d\\phi = d\\vec{F}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2 \\) ，对比系数得到 $$ \\begin{cases} a = 0 \\\\ -A = 2b \\\\ -B = -3b \\\\ c = 0 \\\\ C = 0 \\end{cases} \\tag{15} $$ 从而可令 \\( A = -2k, B = 3k, C = 0\\) ，代入（8）得 $$ d\\vec{F}_{12} = -k i_1 i_2 \\vec{r}_{12} \\left[ (d\\vec{l}_{1} \\cdot d\\vec{l}_2) \\frac{2}{r_{12}^3} - (d\\vec{l}_{1} \\cdot \\vec{r}_{12}) (d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12}) \\frac{3}{r_{12}^5} \\right] \\tag{16} $$ 此即 Ampere 定律的原始形式。\n二、原始 Ampere 定律的适用性讨论 # 在稳恒情况下，由于实际情形下一对电流元间的作用力不可测量，\n实际有测量意义的物理量至少应是闭合回路对电流元的作用力\n$$ \\begin{align} d\\vec{F}_{L_1,2} =\u0026 \\oint_{L_1} d\\vec{F}_{12} \\notag \\\\ =\u0026 \\oint_{L_1} k i_1 i_2 \\vec{r}_{12} \\left[ \\frac{2 (d\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2)}{r_{12}^3} - \\frac{3 (d\\vec{r}_{12} \\cdot \\vec{r}_{12}) (d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12})}{r_{12}^5} \\right] \\notag \\\\ =\u0026 \\oint_{L_1} k i_1 i_2 \\left[ d\\left(\\vec{r}_{12} \\frac{(d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12})}{r_{12}^3} \\right) + \\frac{1}{r_{12}^3} \\left[ \\vec{r}_{12} (d\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2) - d\\vec{r}_{12} (d\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2) \\right] \\right] \\notag \\quad \\text{(17)} \\end{align} $$ 其中 $$ \\oint_{L_1} k i_1 i_2 d\\left( \\frac{\\vec{r}_{12} (d\\vec{l}_2 \\cdot \\vec{r}_{12})}{r_{12}^3} \\right) = 0 \\tag{18} $$$$ \\vec{r}_{12} (d\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2) - d\\vec{r}_{12} (d\\vec{r}_{12} \\cdot d\\vec{l}_2) = d\\vec{l}_2 \\times (\\vec{r}_{12} \\times d\\vec{r}_{12}) \\tag{19} $$ 由此可见，现行 Ampere 定律与原始 Ampere 定律相差一个全微分项\n因此对稳恒情形下的闭合回路，二者没有实际意义上的区别\n从而 $$ d\\vec{F}_{L_1,2} = \\oint_{L_1} k i_1 i_2 \\frac{1}{r_{12}^3} d\\vec{l}_2 \\times (\\vec{r}_{12} \\times d\\vec{r}_{12}) \\tag{20} $$ 考虑到 \\( d\\vec{r}_{12} = -d\\vec{l}_1 \\)，故 $$ d\\vec{F}_{L_1,2} = \\oint_{L_1} k i_1 i_2 \\frac{1}{r_{12}^3} d\\vec{l}_2 \\times (d\\vec{l}_1 \\times \\vec{r}_{12}) \\tag{21} $$ 与现行 Ampere 定律所得结果一致\n三、为什么使用现行 Ampere 定律的形式 # 虽然实际情况下不存在稳定的电流元，\n但在非稳定情况下可以存在\n例如，运动的点电荷即可视为独立存在的电流元，有\n$$ q \\vec{v} = i d\\vec{l} \\tag{22} $$ 考虑图示情形\n图 7 利用电磁场的相对论变换，得到该时刻 \\( q_1 \\) 在 \\( \\vec{r}_{12} \\) 处产生的电磁场满足 $$ \\begin{cases} \\vec{E}(\\vec{r}_{12}) = \\left[ \\gamma \\vec{\\vec{I}} - (\\gamma - 1) \\frac{\\vec{v}_1 \\vec{v}_1}{|\\vec{v}_1|^2} \\right] \\cdot \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{q_1 \\vec{r}_{12}'}{|\\vec{r}_{12}'|^3} \\\\\\\\ \\vec{B}(\\vec{r}_{12}) = \\gamma \\frac{\\vec{v}_1}{c^2} \\times \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\frac{q_1 \\vec{r}_{12}'}{|\\vec{r}_{12}'|^3} \\end{cases} \\tag{23} $$ 其中 $$ \\vec{r}_{12}' = \\left[ \\vec{\\vec{I}} + (\\gamma - 1) \\frac{\\vec{v}_1 \\vec{v}_1}{|\\vec{v}_1|^2} \\right] \\vec{r}_{12} \\tag{24} $$ 注意对实际电流元，除运动载流子外还应当有静止的电荷，整体呈电中性。因此实际电场在考虑静止电荷后应为小量，不作考虑。\n从而在 \\( v \\ll c \\) 近似下， \\( q_2 \\) 所受合力为 $$ \\begin{align} \\vec{F}_{12} =\u0026\\ q_2 \\vec{v}_2 \\times \\vec{B} \\notag \\\\ =\u0026\\ q_2 \\vec{v}_2 \\times \\left( \\frac{\\vec{v}_1}{c^2} \\times \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\cdot \\frac{q_1 \\vec{r}_{12}}{|\\vec{r}_{12}|^3} \\right) \\notag \\\\ =\u0026\\ \\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\frac{q_2 \\vec{v}_2 \\times \\left( q_1 \\vec{v}_1 \\times \\vec{r}_{12} \\right)}{|\\vec{r}_{12}|^3} \\tag{25} \\end{align} $$ 若将运动电荷 \\( q\\vec{v} \\) 视为电流元 \\( i d\\vec{l} \\)，则 $$ \\vec{F}_{12} = \\frac{\\mu_0}{4\\pi} \\frac{i_2 d\\vec{l}_2 \\times \\left( i_1 d\\vec{l}_1 \\times \\vec{r}_{12} \\right)}{|\\vec{r}_{12}|^3} \\tag{26} $$与现行 Ampere 定律的形式一致。\n","date":"2025.6.22","permalink":"https://trojanpt.github.io/jottings/amperes-law/","section":"Jottings","summary":"本文将介绍 Ampere 定律的原始形式的推导过程，并对其与现行形式进行讨论。","title":"关于原始 Ampere 定律的讨论"},{"content":"","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/categories/","section":"Categories","summary":"","title":"Categories"},{"content":"笔记 #","date":null,"permalink":"https://trojanpt.github.io/notes/","section":"Notes","summary":"","title":"Notes"}]