关于原始 Ampere 定律的讨论

Ampere 定律给出了如何计算两电流源间作用力的方法，但实际上，现行的 Ampere 定律的形式并不是 Ampere 最初提出的形式，二者在数学形式上有所差异，但是对于稳恒情况，在物理上并无实际测量意义上的区别。

Ampere 定律原始形式

$$ d\vec{F}_{12} = -k i_1 i_2 \vec{r}_{12} \left[ (d\vec{l}_{1} \cdot d\vec{l}_2) \frac{2}{r_{12}^3} - (d\vec{l}_{1} \cdot \vec{r}_{12}) (d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12}) \frac{3}{r_{12}^5} \right] \notag $$

现行的 Ampere 定律形式（Grassmann 形式）

$$ d\vec{F}_{12} = k \ \frac{i_1 i_2}{r_{12}^3} d\vec{l}_2 \times (d\vec{l}_1 \times \vec{r}_{12}) \notag $$

本文将介绍 Ampere 定律的原始形式的推导过程，并对其与现行形式进行讨论。

一、原始 Ampere 定律的导出过程 #

Ampere 关于电流相互作用的理论建立在四个实验证据和一个假设之上（Ampere’s theory of the mutual action of electric currents is founded on four experimental facts and one assumption）"，Maxwell 在他的 A Treatise on Electricity and Magnetism 一书的最后一章中如此写道。本小节尝试从 Ampere 所做的四个实验以及他的一个假设出发，推导出原始的 Ampere 定律。

实验依据 #

Ampere 的四个实验均采用了“示零法”，即通过构造平衡状态判断电流间相互作用力大小相等的方式。考虑到地磁的干扰，Ampere 设计了如图 1 所示的测量装置，称其为“无定向秤“（astatic）。它在均匀磁场（如地磁场）中不受力和力矩，可以随遇平衡，但对于非均匀磁场将会作出反应。考虑到无定向秤本身产生的磁场，在实际的实验中，需要先接通无定向秤的电源，调整到平衡状态后，再接通实验电路，观察无定向秤是否作出反应。

实验一

如图 2 所示，通过对折导线得到两条平行、等量、相邻且方向相反的电流。实验发现其在接通电流时不会对无定向秤产生作用力。

图 2

这表明当电流反向时，其产生的作用力也反向。一种简单的想法是，认为
$$ d\vec{F}_{12} \propto i_1 i_2 \tag{1} $$
结合实验二来看，这样的想法是合理的。
实验二

如图 3 所示，将对折导线的其中一条绕为弯曲导线。注意图中直导线的电流方向应改为沿HG方向，框架 EFKL 用于支撑实验电路并引导无定向秤与电源间的连接导线。实验电路同样对无定向秤（图中后方的装置）不产生作用。

图 3

这表明电流元具有矢量的性质。即
$$ d\vec{F}_{12} = d\vec{F}_{12} (i_1, i_2, d\vec{l}_1, d\vec{l}_2, \vec{r}_{12}) \tag{2} $$
实验三

如图 4 所示，将一弧形导体架在水银槽上。导体与一绝缘柄固联，柄架在圆心 C 处的支点上。这样，既可通过水银槽给弧形导体通电，由通过绝缘柄的固定使弧形导体可绕圆心转动，从而构成一个只能沿长度方向移动，但不能作横向位移的电流元。安培用这样一个装置检验各种载流线圈对它产生的作用力，结果发现都不能使这弧形导体运动。

图 4

这表明载流线圈作用在电流元上的力是与电流元垂直的。即
$$ (\oint_{L_1}{d\vec{F}_{12}}) \cdot d\vec{l}_2 = 0 \tag{3} $$
实验四

如图 5 所示，在可动圆形回路 $P$ 两侧设置固定的圆形回路 $E, E'$，一个直径缩小为原来的 $\frac{1}{p}$ ，另一个扩大为原来的 $p$ 倍。同时，使 $E - P$ 之间的距离与 $P - E'$ 之间的距离比为 $1 : p$ 。固定圆形回路 $E$ 和 $E'$ 串联在一起。实验结果发现，可动圆形回路在两个固定圆形回路的合作用力下保持平衡。

图 5

这表明作用力大小与几何线度无关。一种简单的想法是，认为
$$ |d\vec{F}_{12}| \propto \frac{|d\vec{l}_1| |d\vec{l}_2|}{|\vec{r}_{12}|^2} \tag{4} $$
考虑到实验二，这样的想法是合理的。

假设 #

Ampere 以典型的牛顿力学风格进行假设，认为两电流元 $d\vec{l}_1$ 和 $d\vec{l}_2 $ 间的作用力遵循相互作用力的原理，从而方向沿 $\vec{r}_{12}$ 。

推导过程 #

根据假设，并考虑实验依据 (1) (2) , 可令

$$ d\vec{F}_{12} = k i_1 i_2 \varphi(d\vec{l}_1, d\vec{l}_2, \vec{r}_{12}) \hat{r}_{12} \tag{5} $$

其中 $ \varphi $ 为标量值函数。

考虑实验 (2)，表征电流元路径的 $ d\vec{l} $ 表现出矢量性质，

一种简单的认为是，$ \varphi $ 对于 $ d\vec{l}_1 $ 和 $ d\vec{l}_2 $ 呈线性关系，

从而，假设

$$ \varphi = \varphi_1(\vec{r}_{12})(d\vec{l}_1 \cdot d\vec{l}_2) + \varphi_2(\vec{r}_{12})(d\vec{l}_1 \cdot \vec{r}_{12})(d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12}) + \varphi_3(\vec{r}_{12})(d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2) \cdot \vec{r}_{12} \quad \text{(6)} $$

这么假设的原因在于，首先，$ \varphi $ 中的项应为如下形式
$$ (d{l}_1)_\alpha (d{l}_2)_\beta ({r}_{12})_\gamma ({r}_{12})_\mu \cdots \tag{7} $$
① $ \alpha = \beta $，此即 $ (d\vec{l}_1 \cdot d\vec{l}_2) $ 项

② $ \alpha \neq \beta $，由于 $ \varphi $ 为标量值函数，从而有如下两种形式

1） $ (d{l}_1)_\alpha (d{l}_2)_\beta ({r}_{12})_\alpha ({r}_{12})_\beta \cdots $

即 $ (d\vec{l}_1 \cdot \vec{\gamma}_{12})(d\vec{l}_2 \cdot \vec{\gamma}_{12}) $ 项

2） $ \varepsilon_{\gamma\alpha\beta} (d{l}_1)_\alpha (d{l}_2)_\beta ({r}_{12})_\gamma \cdots $

即 $ (d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2) \cdot \vec{\gamma}_{12} $ 项

考虑（4），从而

$$ d\vec{F}_{12} = i_1 i_2 \vec{r}_{12} \left[ (d\vec{l}_1 \cdot d\vec{l}_2) \frac{A}{r_{12}^3} + (d\vec{l}_1 \cdot \vec{r}_{12})(d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12}) \frac{B}{r_{12}^5} + (d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2) \cdot \vec{r}_{12} \frac{C}{r_{12}^4} \right] \quad \text{(8)} $$

考虑（3），如图示

此时 $d\vec{l}_1 = - d\vec{r}_{12}$

注意（3）式

$$ \left( \oint_{L_1} d\vec{F}_{12} \right) \cdot d\vec{l}_{2} = \oint_{L_1} (d\vec{F}_{12} \cdot d\vec{l}_{2}) = 0 \tag{9} $$

该等式与路径 $L_1$ 无关，从而 $d\vec{F}_{12} \cdot d\vec{r}_{12}$ 是某势函数 $\phi$ 的微分，

即 $ d\phi = d\vec{F}_{12} \cdot d\vec{l}_{2} $

对 $\phi$ ，考虑上式，有

$$ d\phi \propto \frac{|d\vec{r}_{12}| |d\vec{l}_2|^2}{|\vec{r}_{12}|^2} \tag{10} $$

$$ \phi \propto \frac{|d\vec{l}_2|^2}{|\vec{r}_{12}|} \tag{11} $$

从而，将 $\phi$ 形式地表为

$$ \phi = (d\vec{l}_2 \cdot d\vec{l}_2) \frac{a}{r_{12}} + (d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12})^2 \frac{b}{r_{12}^3} + (d\vec{l}_2 \times \vec{r}_{12})^2 \frac{c}{r_{12}^3} \tag{12} $$

取微分，得

$$ \begin{align} d\phi = & - (d\vec{l}_2 \cdot d\vec{l}_2) \frac{a \vec{r}_{12} \cdot d\vec{r}_{12}}{r_{12}^3} + \notag \\ &\ 2(d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12})(d\vec{l}_2 \cdot d\vec{r}_{12}) \frac{b}{r_{12}^3} - 3(d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12})^2 \frac{b \vec{r}_{12} \cdot d\vec{r}_{12}}{r_{12}^5} + \notag \\ &\ 2(d\vec{l}_2 \times \vec{r}_{12}) \cdot (d\vec{l}_2 \times d\vec{r}_{12}) \frac{c}{r_{12}^3} - 3(d\vec{l}_2 \times \vec{r}_{12})^2 \frac{c \vec{r}_{12} \cdot d\vec{r}_{12}}{r_{12}^5} \tag{13} \end{align} $$

又由（5），有

$$ d\vec{F}_{12} \cdot d\vec{l}_2 = -i_1 i_2 (\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2) \left[ (d\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2) \frac{A}{r_{12}^3} + (d\vec{r}_{12} \cdot \vec{r}_{12}) (d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12}) \frac{B}{r_{12}^5} + (d\vec{r}_{12} \times d\vec{l}_2) \cdot \vec{r}_{12} \frac{C}{r_{12}^4} \right] \quad \text{(14)} $$

且 $ d\phi = d\vec{F}_{12} \cdot d\vec{l}_2 $ ，对比系数得到

$$ \begin{cases} a = 0 \\ -A = 2b \\ -B = -3b \\ c = 0 \\ C = 0 \end{cases} \tag{15} $$

从而可令 $ A = -2k, B = 3k, C = 0$ ，代入（8）得

此即 Ampere 定律的原始形式。

二、原始 Ampere 定律的适用性讨论 #

在稳恒情况下，由于实际情形下一对电流元间的作用力不可测量，

实际有测量意义的物理量至少应是闭合回路对电流元的作用力

$$ \begin{align} d\vec{F}_{L_1,2} =& \oint_{L_1} d\vec{F}_{12} \notag \\ =& \oint_{L_1} k i_1 i_2 \vec{r}_{12} \left[ \frac{2 (d\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2)}{r_{12}^3} - \frac{3 (d\vec{r}_{12} \cdot \vec{r}_{12}) (d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12})}{r_{12}^5} \right] \notag \\ =& \oint_{L_1} k i_1 i_2 \left[ d\left(\vec{r}_{12} \frac{(d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12})}{r_{12}^3} \right) + \frac{1}{r_{12}^3} \left[ \vec{r}_{12} (d\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2) - d\vec{r}_{12} (d\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2) \right] \right] \notag \quad \text{(17)} \end{align} $$

其中

$$ \oint_{L_1} k i_1 i_2 d\left( \frac{\vec{r}_{12} (d\vec{l}_2 \cdot \vec{r}_{12})}{r_{12}^3} \right) = 0 \tag{18} $$$$ \vec{r}_{12} (d\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2) - d\vec{r}_{12} (d\vec{r}_{12} \cdot d\vec{l}_2) = d\vec{l}_2 \times (\vec{r}_{12} \times d\vec{r}_{12}) \tag{19} $$

由此可见，现行 Ampere 定律与原始 Ampere 定律相差一个全微分项

因此对稳恒情形下的闭合回路，二者没有实际意义上的区别

从而

$$ d\vec{F}_{L_1,2} = \oint_{L_1} k i_1 i_2 \frac{1}{r_{12}^3} d\vec{l}_2 \times (\vec{r}_{12} \times d\vec{r}_{12}) \tag{20} $$

考虑到 $ d\vec{r}_{12} = -d\vec{l}_1 $，故

$$ d\vec{F}_{L_1,2} = \oint_{L_1} k i_1 i_2 \frac{1}{r_{12}^3} d\vec{l}_2 \times (d\vec{l}_1 \times \vec{r}_{12}) \tag{21} $$

与现行 Ampere 定律所得结果一致

三、为什么使用现行 Ampere 定律的形式 #

虽然实际情况下不存在稳定的电流元，

但在非稳定情况下可以存在

例如，运动的点电荷即可视为独立存在的电流元，有

$$ q \vec{v} = i d\vec{l} \tag{22} $$

考虑图示情形

利用电磁场的相对论变换，得到该时刻 $ q_1 $ 在 $ \vec{r}_{12} $ 处产生的电磁场满足

$$ \begin{cases} \vec{E}(\vec{r}_{12}) = \left[ \gamma \vec{\vec{I}} - (\gamma - 1) \frac{\vec{v}_1 \vec{v}_1}{|\vec{v}_1|^2} \right] \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \vec{r}_{12}'}{|\vec{r}_{12}'|^3} \\\\ \vec{B}(\vec{r}_{12}) = \gamma \frac{\vec{v}_1}{c^2} \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \vec{r}_{12}'}{|\vec{r}_{12}'|^3} \end{cases} \tag{23} $$

其中

$$ \vec{r}_{12}' = \left[ \vec{\vec{I}} + (\gamma - 1) \frac{\vec{v}_1 \vec{v}_1}{|\vec{v}_1|^2} \right] \vec{r}_{12} \tag{24} $$

注意对实际电流元，除运动载流子外还应当有静止的电荷，整体呈电中性。因此实际电场在考虑静止电荷后应为小量，不作考虑。

从而在 $ v \ll c $ 近似下， $ q_2 $ 所受合力为

$$ \begin{align} \vec{F}_{12} =&\ q_2 \vec{v}_2 \times \vec{B} \notag \\ =&\ q_2 \vec{v}_2 \times \left( \frac{\vec{v}_1}{c^2} \times \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 \vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|^3} \right) \notag \\ =&\ \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q_2 \vec{v}_2 \times \left( q_1 \vec{v}_1 \times \vec{r}_{12} \right)}{|\vec{r}_{12}|^3} \tag{25} \end{align} $$

若将运动电荷 $ q\vec{v} $ 视为电流元 $ i d\vec{l} $，则

$$ \vec{F}_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i_2 d\vec{l}_2 \times \left( i_1 d\vec{l}_1 \times \vec{r}_{12} \right)}{|\vec{r}_{12}|^3} \tag{26} $$

与现行 Ampere 定律的形式一致。