重力场下弹性体的振动
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纸上算算可比蹦极轻松多了 (￣﹃￣')
考虑弹性绳弹性模量为 \(Y\) ，自由状态(无重力)下原长为 \(l\) ，截面积为 \(S_0\) ，线质量密度为 \(\lambda\) ，泊松比取 \(\frac{1}{2}\)（即介质不可压缩），其一端固定于定点O，另一端与质量为 \(M\) 的重物相连。整个体系竖直悬挂，重力加速度为 \(g\) . 仅考虑弹性绳的纵向振动。
约定原长坐标 \(x\) 为自由状态下弹性绳上某处到O的距离，伸长量坐标 \(\xi{(x)}\) 为弹性绳上原长坐标为 \(x\) 处所产生的位移(向下为正)。
绳上拉力分布 \(F(x)\) #
弹性绳不可压缩，从而
$$ S\cdot(\mathrm{d}x+\mathrm{d}\xi)=S_0\cdot\mathrm{d}x \tag{1} $$由
$$ \frac{F}{S}=Y\frac{\partial \xi}{\partial x} \tag{2} $$故
$$ F(x)=S_0 Y\frac{\frac{\partial \xi}{\partial x}}{1+\frac{\partial \xi}{\partial x}} \tag{3} $$波动方程 #
对 \(x\,{\backsim}\,x+dx\) 微元，有
$$ \lambda dx\cdot\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\lambda dx\cdot g+F(x+dx)-F(x) \tag{4} $$将 (3) 式代入得
$$ \lambda\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\lambda g+\frac{S_0Y}{(1+\frac{\partial\xi}{\partial x})^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2} \tag{5} $$边界条件
$$ \begin{cases} \xi|_{x=0}=0\\ M\cdot\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}|_{x=l}=Mg-S_0Y\frac{(\frac{d\xi}{dx})|_{x=l}}{1+(\frac{d\xi}{dx})|_{x=l}} \end{cases} \tag{6} $$稳态解 #
无振动状态下的稳态解为 \(\xi_0(x)\) ，从而 \(\frac{\partial^2\xi _0}{\partial t^2}=0\)，故 (5) 式化为
$$ \lambda g+\frac{S_0Y}{(1+\frac{d\xi _0}{dx})^2}\frac{d^2\xi _0}{d x^2} = 0 \tag{7} $$积分得到
$$ \frac{d\xi_0 }{dx}=\frac{Mg+\lambda (l-x)g }{S_0Y-Mg-\lambda( l-x)g } \tag{8} $$故
$$ \xi_0 \left ( x \right ) =\frac{S_0Y}{lg} ln\left ( \frac{S_0Y-Mg-\lambda lg+\lambda xg}{S_0Y-Mg-\lambda lg} \right ) -x \tag{9} $$小幅振动近似 #
对小幅振动的情况，记
$$ \xi(x,t)=\xi_0(x)+\delta(x,t) \quad , \delta\ll\xi_0 \tag{10} $$代入 (5) 式，取一阶近似，得
$$ \lambda\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\lambda g+\frac{S_0Y}{(1+\frac{d\xi_0}{dx})^2}[\frac{d^2\xi_0}{dx^2}+\frac{\partial^2\delta}{\partial x^2}-2\frac{d^2\xi_0}{dx^2}\frac{\frac{\partial\delta}{\partial x}}{1+\frac{d\xi_0}{dx}}] \tag{11} $$将 (9) 式代入，化简得到小幅振动情况下一阶近似后的方程
$$ \lambda\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\frac{[S_0Y-Mg-\lambda g(l-x)]^2}{S_0Y}\frac{\partial^2\delta}{\partial x^2}+2\lambda g\frac{S_0Y-Mg-\lambda g(l-x)}{S_0Y}\frac{\partial\delta}{\partial x} \quad \text{(12)} $$变量分离，令 \(\delta(x,t) =A(x)B(t)\) ，则上式可化为
$$ \frac{1}{B} \lambda \frac{d^2B}{dt^2} =\left \{ \frac{\left [ S_0Y-Mg-\lambda \left ( l-x \right )g \right ]^2}{S_0Y} \frac{d^2A}{dx^2} +2\lambda g\frac{S_0Y-Mg-\lambda \left ( l-x \right )g }{S_0Y} \frac{dA}{dx} \right \} \frac{1}{A} \quad \text{(13)} $$等式左侧仅与 \(t\) 相关，右侧仅与 \(x\) 相关，因此左右式均等于常数，设其为 \(-\lambda w^2\) ， 则左式
$$ \frac{1}{B} \lambda \frac{d^2B}{dt^2}=-\lambda w^2 \tag{14} $$$$ B\left ( t\right )=B_o\cos \left ( wt+\varphi \right ) \tag{15} $$右式
$$ \frac{\left [ S_0Y-Mg-\lambda \left ( l-x \right )g \right ]^2 }{S_0Y} \frac{d^2A}{dx^2} +2\lambda g\frac{S_0Y-Mg-\lambda \left ( l-x \right )g}{S_0Y}\frac{dA}{dx}+\lambda w^2A=0 \quad \text{(16)} $$这是 Euler 方程，令
$$ t=ln\left ( S_0Y-Mg-\lambda lg+\lambda gx \right ) \tag{17} $$代回 (16) 式得
$$ \frac{d^2A}{dt^2}+\frac{dA}{dt}+\frac{w^2S_0Y }{\lambda g^2}A=0 \tag{18} $$对应特征方程
$$ \lambda ^2+\lambda +\frac{w^2S_0Y }{\lambda g^2}=0 \tag{19} $$$$ \lambda_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4\frac{w^2S_0Y}{\lambda g^2} } }{2} \tag{20} $$故
$$ A=A_1e^{\lambda_1t}+A_2e^{\lambda_2t} \tag{21} $$$$ \delta =\left [ A_1\left ( S_0Y-Mg-\lambda lg+\lambda xg \right )^{\lambda_1}+A_2\left ( S_0Y-Mg-\lambda lg+\lambda xg \right ) ^{\lambda_2} \right ]\cos \left ( wt+\varphi \right ) \quad \text{(22)} $$（常数 \(B_0\) 吸收进 \(A_1,A_2\) ）
对边界条件 (6) ，同样取一阶近似，得
$$ \begin{cases} \delta|_{x=0}=0\\ M\frac{\partial ^2\delta }{\partial t^2}|_{x=l}=Mg-S_0Y\frac{\frac{d\xi_0}{dx}}{1+\frac{d\xi_0}{dx}}|_{x=l}-S_0Y\frac{\frac{\partial \delta}{\partial x}}{1+\frac{d\xi_0}{dx}}|_{x=l} \end{cases} \tag{23} $$将 (9) 式代入，消去 \(\xi_0\) ，得
$$ \begin{cases} \delta|_{x=0}=0\\ M\frac{\partial ^2\delta }{\partial t^2}|_{x=l}=-\frac{(S_0Y-Mg)^2}{S_0Y}\frac{\partial\delta}{\partial x}|_{x=l} \end{cases} \tag{24} $$将(31)式代入，消去 \(\delta\) ，得
$$ {\begin{cases} A_1\left ( S_0Y-Mg-\lambda lg \right ) ^{\lambda _1-\lambda _2}+A_2=0\\ w^2M\left [ A_1\left ( S_0Y-Mg \right )^{\lambda _1-\lambda _2} +A_2 \right ]=\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\lambda g [ A_1\lambda _1\left ( S_0Y-Mg )^{\lambda _1-\lambda _2}+A_2\lambda _2 \right ] \end{cases}} \quad \text{(25)} $$这是关于 \(A_1,\ A_2\) 的齐次线性方程组，其非平凡解要求系数行列式为 \(0\)，从而得到关于 \(\omega\) 的方程
$$ w^2M\left [ \left ( \frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\lambda lg} \right )^{\lambda _1-\lambda _2} -1 \right ] =\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\lambda g \left[ \lambda _1(\frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\lambda lg})^{\lambda _1-\lambda _2} -\lambda _2 \right ] \quad \text{(26)} $$若
$$ 4\frac{w^2S_0Y}{\lambda g^2} > 1 \tag{27} $$则 \(\lambda_1,\lambda_2\) 为复数，记
$$ \lambda _{1,2}=\alpha \pm \beta i \tag{28} $$其中
$$ \alpha = - \frac{1}{2} \tag{29} $$$$ \beta =\sqrt{\frac{w^2SoY}{\lambda g^2}-\frac{1}{4}} \tag{30} $$代入 (26) 式，得到
$$ \begin{align} w^2M =& \frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\lambda g\left \{ \alpha +\beta \cot \left [ \beta ln\left ( \frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\lambda lg} \right ) \right ] \right \} \notag \\ =& \frac{S_0Y-Mg}{S_0Y}\lambda g\left \{ - \frac{1}{2} +\sqrt{\frac{w^2S_0 Y}{\lambda g^2}-\frac{1}{4}}\ \cot \left [ \sqrt{\frac{w^2SoY}{\lambda g^2}-\frac{1}{4}} \ ln\left ( \frac{S_0Y-Mg}{S_0Y-Mg-\lambda lg} \right ) \right ] \right \} \notag \quad \text{(31)} \end{align} $$此即为 \(\omega\) 满足的方程。