小振动的简正坐标存在性验证

问题的提出 #

对多自由度体系（例如，自由度为 $n$ ）稳定平衡位置附近的一阶小振动的处理，即是处理微分方程组

$$ \bm{\ddot{x}} = -\mathbf{A} \bm{x} \tag{1} $$

其解可形式地记为

$$ \bm{x}=\bm{x_1}\exp\left(i\mathbf{A^\frac{1}{2}}\ t \right) + \bm{x_2}\exp\left(-i \mathbf{A^\frac{1}{2}}\ t \right) \tag{2} $$

假设 $\mathbf{A}$ 可对角化，则可令

$$ \mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P^{-1}} \tag{3} $$

利用 Taylor 展开，从而 (2) 式化为

$$ \bm{x}=\bm{x_1}\mathbf{P}\exp\left(i\mathbf{\Lambda^\frac{1}{2}}\ t \right)\mathbf{P^{-1}} + \bm{x_2}\mathbf{P}\exp\left(- i \mathbf{\Lambda^\frac{1}{2}}\ t \right)\mathbf{P^{-1}} \tag{4} $$

其中

$$ \exp(i\mathbf{\Lambda^{\frac{1}{2}}}\ t) = \begin{bmatrix} \exp(i\lambda_1^{\frac{1}{2}}\ t) & 0 & 0 & \\ 0 & \exp(i\lambda_2^{\frac{1}{2}}\ t) & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \exp(i\lambda_3^{\frac{1}{2}}\ t) & \\ & \cdots & & \end{bmatrix} \tag{5} $$

从而 (4) 式即为该微分方程组的解。

换一种更加常见的说法，许多教材是这么讲简正模的，即对于 (1)，取试探解
$$ \bm{x} = \bm{x_0} \cos (\omega t + \varphi) \tag{6} $$
代入得
$$ (\mathbf{A}-\omega^2)\bm{x_0}=0 \tag{7} $$
解 $\bm{x_0}$ 非平凡，故
$$ \det(\mathbf{A} - \mathbf{\omega^2} \mathbf{I}) = 0 \tag{8} $$
可解得简振频率 $\omega_i$ 以及对应的特征值 $\bm{x_i}$ $(i=1,2,\cdots, n)$ ，从而 (1) 的解为
$$ \bm{x}=\sum_i \ \bm{x_i} \cos (\omega_i t + \varphi_i) \tag{9} $$

在许多力学的教材中，都不加证明地认为

系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda_i >0$
$\mathbf{A}$ 可对角化，即 $\mathbf{A}$ 的几何重数 $=n$

即是说，对多自由度体系稳定平衡位置附近的一阶小振动，存在与其自由度数量相等的简正坐标。

$\lambda_i >0$ 意即其描述的运动为简正模式， $\mathbf{A}$ 的几何重数 $=n$ 意即简正坐标的数量与体系自由度一致。从而说，存在与其自由度数量相等的简正坐标 。

本文即意在对于其存在性展开讨论。

同样地，在另一种说法下，即是说，上述『 可解得简振频率 $\omega_i$ 以及对应的特征值 $\bm{x_i}$ $(i=1,2,\cdots, n)$ 』并不显然成立。即

$\omega _i$ 为虚数，即 $\omega_i^2<0$ 的情况

系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的几何重数 $< n$ 的情况。即是说，即使在 $\mathbb{C}$ 内，也不一定存在 $n$ 个线性无关的特征值 $\bm{x_i}$ ，当其对应的特征值有简并时，这是可能发生的。从而 $\bm{x}$ 存在不能表示成三角函数（或有限个三角函数相加的）形式的特解

这两点与正文中的两点是等价的。对于是否会发生这些情况，这是我们需要讨论的。

简正坐标的存在性 #

对多自由度体系稳定平衡位置附近的一阶小振动，其动力学方程可写作

$$ \mathbf{M}\bm{\ddot{x}}+\mathbf{K}\bm{x}=0 \tag{10} $$

其中矩阵 $\mathbf{M}$, $\mathbf{K}$ 应当均是（实对称的）正定矩阵。从而 (1) 中的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 可表示为

$$ \mathbf{A} = \mathbf{M^{-1}K} \tag{11} $$

考虑到 $\mathbf{M}$ 正定，故上式可表为

$$ \mathbf{A} = \mathbf{M^{-\frac{1}{2}}\ M^{-\frac{1}{2}}\ K\ M^{-\frac{1}{2}}\ M^{\frac{1}{2}}} \tag{12} $$

且其中 $\mathbf{M^{-\frac{1}{2}}\ K\ M^{-\frac{1}{2}}}$ 为实对称矩阵，可令

$$ \mathbf{M^{-\frac{1}{2}}\ K\ M^{-\frac{1}{2}}} = \mathbf{P\Lambda P^{-1}} \tag{13} $$

从而

$$ \mathbf{A} = \mathbf{M^{-\frac{1}{2}} P\Lambda P^{-1} M^{\frac{1}{2}}} \tag{14} $$

这表明

$$ \boxed{\mathbf{系数矩阵\ A\ 可对角化}} \notag $$

对于 $\mathbf{A}$ 的特征方程

$$ \mathbf{A}\bm{x} = \mathbf{M^{-1}K}\bm{x} = \lambda \bm{x} \tag{15} $$

即

$$ \mathbf{K}\bm{x} = \lambda\ \mathbf{M}\bm{x} \tag{16} $$

考虑在等式两边左乘 $\bm{x^T}$ ，得到

$$ \bm{x^T} \mathbf{K} \bm{x} = \lambda\ \bm{x^T} \mathbf{M}\bm{x} \tag{17} $$

注意到 $\mathbf{M}$, $\mathbf{K}$ 均是正定矩阵，有

$$ \bm{x^T} \mathbf{K} \bm{x} > 0 \ ,\quad \bm{x^T} \mathbf{M}\bm{x} > 0 \tag{18} $$

从而

$$ \lambda > 0 \tag{19} $$

这表明

$$ \boxed{\mathbf{系数矩阵 \ A\ 的特征值\ }\lambda >0} \notag $$

从而说，对多自由度体系稳定平衡位置附近的一阶小振动，存在与其自由度数量相等的简正坐标。