Hilbert 空间【QFT の一存 · 1】

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  量子理论试图回答对象的各种物理量在测量中取值的概率分布（运动学），以及其随时间演化的方式（动力学）。对于场论，对象通过在场空间中的状态进行刻画。

  本文我们讨论运动学性质，目标是构造等时 Hilbert 空间，它是完备的内积空间。首先我们需要给出场空间的结构，

  定义 1.1（场） 称映射

$$ \phi:\quad \R^3 \to \mathbb F \tag{1} $$

为三维实空间的场。并记 $t$ 时刻可能存在的场全体 $\Phi_t=\{\phi_t\}$ .

  注记 1 通常考虑定常约束，则不同 $t$ 时刻可能存在的场全体等同，记为

$$ \Phi = \{\phi\} \tag{2} $$

  例 1.1（复标量场） 取 $\mathbb F=\mathbb{C}$，此时场为复标量场。

  为了从经典数据出发建立量子理论，自然考虑赋予场空间以测度的结构。给出如下定义

  定义 1.2（场空间） 称测度空间

$$ (\Phi,\mathscr F,\mu) \tag{3} $$

为场空间，满足以下要求

1. $\mu$ 是 $\sigma -$有限测度。

  注记 1 定义中对场空间所作要求的动机有待后续讨论，现在我们可以仅将其视为 $\Phi$ 上一般定义的测度空间，即满足

1. $\mathscr F \subset \mathcal P(\Phi)$ 为 $\Phi$ 上的一个 $\sigma -$代数。即是说， $\mathscr F \subset \mathcal P(\Phi)$ ，且满足
   1. $\Phi \in \mathscr{F}$
   2. $A\in\mathscr{F} \Rightarrow A^c = \Phi- A\in\mathscr{F}$
   3. $\{A_n:n\in\N\}\subset\mathscr{F} \Rightarrow \bigcup_{n\in \N}A_n\in\mathscr{F}$
2. $\mu$ 为定义在 $(\Phi,\,\mathscr F)$ 上的测度。即是说，$\mu:\; \mathscr F \to [0,+\infty]$，且满足
   1. $\mu(\varnothing) = 0$
   2. $\{A_n:n\in\N\}\subset\mathcal{F}, A_i \cap A_j = \varnothing, i \neq j$ $\Rightarrow$ $\mu (\bigcup_{n\in \N} A_n) = \sum_{n \in \N} \mu(A_n)$

  对象在场空间中的状态通过其上的（复值）可测函数进行描述，具体而言，我们首先期望以下命题成立

  命题 1.1 对 $(\Phi,\mathscr F)$ 上的概率测度 $P$，若 $P$ 关于 $\mu$ 绝对连续，即

$$ \mu(A)=0 \Rightarrow P(A)=0 \tag{4} $$

则总存在从 $(\Phi,\mathscr F)$ 到 $(\mathbb{C},\mathscr B_\mathbb{C})$ 的可测映射 $\psi$，使得

$$ P(A) = \int_A d\mu |\psi|^2,\qquad \forall A\in\mathscr F \tag{5} $$

且 $|\psi|$ 在几乎处处意义下唯一。

  注记 1 对可测函数 $f,\,g$，称 $f = g$ 几乎处处，若 $\mu(\{\phi: f(\phi) \neq g(\phi)\}) = 0$ 。后续的讨论视几乎处处相等的可测函数为同一函数（类）。

  该命题的成立需要 $\mu$ 是 $\sigma -$有限的，这是定义 1.2 中要求 1 的动机。对命题的证明如下

  证明 Radon–Nikodym 定理指出，存在 $(\Phi,\mathscr F)$ 上的可测函数 $f$ 使得

$$ P(A)=\int_A d\mu\, f,\qquad \forall A\in\mathscr F \tag{6} $$

且 $f$ 唯一。令

$$ \psi = \sqrt{f\,} \cdot \exp(i\theta) \tag{7} $$

其中 $\theta$ 为 $(\Phi,\mathscr F)$ 上的任意可测函数。从而 $\psi$ 即为满足命题要求的可测映射。 $\blacksquare$

  定义 1.3（波函数） 称可测映射

$$ \psi:\quad (\Phi,\mathscr F)\to(\mathbb{C},\mathscr B_\mathbb{C}) \tag{8} $$

为描述场空间中某一对象 a 的波函数，若对任意 $A\in\mathscr F$，a 处于事件 A 的概率 $P_a(A)$ 满足等式

$$ P_a(A) = \int_A d\mu |\psi|^2 \tag{9} $$

并记波函数全体为 $\Psi$。

  说明 定义中波函数的存在性由命题 1.1 保证。

  系 1 $\displaystyle \Psi \subset L^2=\left\{\psi:\Phi\to\mathbb{C}\text{ 可测}\;\middle |\;\int_\Phi d\mu |\psi|^2<+\infty\right\}$

  我们利用 $L^2$ 描述未被归一化的波函数所在空间，并在其上赋予内积结构以构造等时 Hilbert 空间，即

  定义 1.4（等时 Hilbert 空间） 在函数空间 $L^2$ 上定义映射

$$ \begin{align} \langle \cdot\,, \cdot \rangle:\quad L^2\times L^2 &\to \mathbb{C} \notag \\ (\psi_1, \psi_2) &\mapsto \int_{\Phi}d\mu\, \psi_1^*\psi_2 \tag{10} \end{align} $$

可验证其满足

1. 正定性：$\langle \psi,\psi\rangle=\int_\Phi d\mu |\psi|^2\geq 0$，且等号成立当且仅当 $\psi=0$
2. 共轭对称性
3. 对第二变元的线性

从而 $\langle \cdot\,, \cdot \rangle$ 是 $L^2$ 上的一个内积。称内积空间

$$ \mathcal H = (L^2, \langle \cdot\,, \cdot \rangle) \tag{11} $$

为等时 Hilbert 空间。

  注记 1 在物理的书写习惯中，通常采用 Dirac 括号代替内积的书写。右矢 $|\psi\rangle:=\psi \in L^2$，左矢 $\langle \psi | := \langle \psi,\, \cdot\,\rangle \in\mathrm{Hom}(L^2,\, \mathbb{C})$ ，并记 $\langle \psi_1 |(\psi) = \langle \psi_1 \mid \psi \rangle$ .

  下面讨论 $\mathcal H$ 的性质。

  定理 1.1（完备性） 等时 Hilbert 空间是（序列）完备的内积空间。即是说，对 $\mathcal H$ 中的 Cauchy 列 $(\psi_n)$ ，存在 $\psi\in \mathcal H$ 使得 $\|\psi_n-\psi\|\to 0$ .

  说明 此即 Riesz–Fischer 定理。

  定理 1.2（标准正交基的存在性） $\mathcal H$ 存在标准正交基。即是说，存在子集 $\{e_\alpha\}_{\alpha\in I}\subset\mathcal H$，使得

1. $\langle e_\alpha\mid e_\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}$
2. $\overline{\mathrm{span}\{e_\alpha:\alpha\in I\}}=\mathcal H$

  系 1 $\mathcal H$ 存在一组至多可数的标准正交基当且仅当 $\mathcal H$ 可分。

  系 2 若 $\{e_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 为 $\mathcal H$ 的一组标准正交系，以下等价

1. $\{e_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 完备（从而构成标准正交基）

2. （完备性公式）对任一 $\psi\in\mathcal H$ 有

   $$ \psi = \sum_{\alpha\in I} \langle e_\alpha\mid \psi\rangle e_\alpha \tag{12} $$

3. （Parseval 等式）对任一 $\psi\in\mathcal H$ 有

   $$ \|\psi\|^2 = \sum_{\alpha\in I} |\langle e_\alpha\mid \psi\rangle|^2 \tag{13} $$

  例 1.2（有限维高斯测度下的标准正交基） 设 $\Lambda=\{x_1,\ldots,x_N\}\subset\R^3$ 为有限格点集，场空间取

$$ \Phi=\{\phi:\Lambda\to\R\}\cong\R^N,\qquad \phi_i=\phi(x_i) \tag{14} $$

并取 $\mathscr F=\mathscr B(\R^N)$， $\mu = \gamma^N_\Sigma$ 为高斯测度

$$ d\gamma^N_\Sigma(\phi)=(2\pi)^{-N/2}(\det \Sigma)^{-1/2}\exp\!\left(-\frac12\phi^{T}\Sigma^{-1}\phi\right)d^N\phi \tag{15} $$

其中 $\Sigma\in S^N_{++}$ 为协方差矩阵，$d\phi$ 为 Lebesgue 测度。下面构造 $\mathcal H=L^2(\R^N,\gamma^N_\Sigma)$ 的标准正交基，分三步进行。

1. 实对称矩阵 $\Sigma$ 可正交对角化，

   $$ \Sigma=ODO^T \tag{16} $$

   其中 $O\in O(N)$ 为正交矩阵，$D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)$（其中 $\lambda_i>0$）。记 $\Sigma^{1/2}=O\sqrt D\,O^T$，作换元

   $$ \eta=\Sigma^{-1/2}\phi \tag{17} $$

   此时高斯测度因子化为

   $$ d\gamma^N_\Sigma(\phi)=\prod_{i=1}^{N}\frac{e^{-\eta_i^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\, d\eta_i=:\prod_{i=1}^{N}d\gamma(\eta_i) \tag{18} $$

   其中 $d\gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx$ 为一维标准高斯测度。相应地，映射

   $$ \psi(\phi)\longmapsto\tilde\psi(\eta)=\psi(\Sigma^{1/2}\eta) \tag{19} $$

   给出了从 $L^2(\R^N,\gamma^N_\Sigma)$ 到 $\bigotimes_{i=1}^{N}L^2(\R,\gamma)$ 的等距同构，保持内积不变，问题化为一维情形。

2. （Hermite 基）对 $n\in\N=\{0,1,2,\ldots\}$ 定义（概率型）Hermite 多项式

   $$ \mathrm{H}_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} \tag{20} $$

   它是完备的正交系。令 $h_n=\mathrm{H}_n/\sqrt{n!}$，得到标准正交关系

   $$ \int_{\R}d\gamma(x)\,h_m(x)h_n(x)=\delta_{mn} \tag{21} $$

   故 $\{h_n:n\in\N\}$ 是 $L^2(\R,\gamma)$ 的标准正交基。

3. （张量积基）对多指标 $\mathbf n=(n_1,\ldots,n_N)\in\N^N$ 定义

   $$ e_{\mathbf n}(\phi)=\prod_{i=1}^{N}h_{n_i}\big(\eta_i(\phi)\big) \tag{22} $$

   由第 2 步得到的正交性，

   $$ \langle e_{\mathbf m}\mid e_{\mathbf n}\rangle =\int_{\Phi}d\gamma^N_\Sigma(\phi)\;e_{\mathbf m}(\phi)\cdot e_{\mathbf n}(\phi) =\prod_{i=1}^{N}\delta_{m_i n_i}=\delta_{\mathbf m\mathbf n} \tag{23} $$

   从而 $\{e_{\mathbf n}:\mathbf n\in\N^N\}$ 构成 $L^2(\R^N,\gamma^N_\Sigma)$ 的标准正交基。

  注记 1（Fock 基） Hermite 多项式间有递推关系

$$ \frac{d}{dx}\mathrm{H}_n=n\mathrm{H}_{n-1},\qquad x\mathrm{H}_n=\mathrm{H}_{n+1}+n\mathrm{H}_{n-1} \tag{24} $$

若定义 $L^2(\R^N,\gamma^N_\Sigma)$ 上的线性映射

$$ \hat a_i:=\partial_{\eta_i(\phi)} = (\Sigma^{1/2})_{ij}\partial_{\phi_j}\,, \quad \hat a_i^\dagger:=\eta_i(\phi)-\partial_{\eta_i(\phi)} \tag{25} $$

可得

$$ \hat a_i h_{n_i}=\sqrt{n_i}\,h_{n_i-1},\qquad \hat a_i^\dagger h_{n_i}=\sqrt{n_i+1}\,h_{n_i+1} \tag{26} $$

以及

$$ [\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij}\,,\quad [\hat a_i,\hat a_j]=[\hat a_i^\dagger,\hat a_j^\dagger]=0 \tag{27} $$

约定真空态 $\Omega:= \mathbb{1} \in L^2(\R^N,\gamma^N_\Sigma)$ ，并利用 $h_1(x) = x$，于是基元可写成

$$ e_{\mathbf n}=\prod_{i=1}^{N}\frac{(\hat a_i^\dagger)^{n_i}}{\sqrt{n_i!}}\,\Omega \tag{28} $$

于是可将 $n_i$ 解释为第 $i$ 个状态上的占据数，$\{e_{\mathbf n}\}$ 即为 Fock 基。

  接下来我们讨论一般场空间下 $\mathcal H$ 中标准正交基的构造。从 $\mathcal H$ 的建立过程来看，我们自然希望用"场取确定值"的态作为基元，即取单点指示函数（当然这种动机对应的实际上不是单点指示函数啦，我们下面马上会讨论）

$$ e_{\phi_a} = \mathbf 1_{\{\phi_a\}}:\ \phi\longmapsto \delta_{\phi,\phi_a}\,,\qquad \phi_a\in\Phi \tag{29} $$

并希望 $\{e_{\phi_a}\}$ 构成 $\mathcal H$ 的标准正交基。然而这会遇到问题，

1. 对 $\mu$ 的非原子部分，每个单点集 $\{\phi_a\}$ 的测度为零，从而 $e_{\phi_a} = 0$ 几乎处处
2. 对 $\mu$ 的原子部分，$\sigma$-有限性要求至多可数个 $e_{\phi_a}$ 非零

可见对于一般的不可数的 $\Phi$ ，上述 $\{e_{\phi_a}\}$ 无法构成 $\mathcal H$ 的标准正交基。

  实际上，产生上述问题的原因在于，“场取确定值”（譬如说取 $\phi_a$）这一性质对应的概率测度为点测度 $\delta_{\phi_a}$，而它关于 $\mu$ 不绝对连续（$\mu(\{\phi_a\})=0$ 而 $\delta_{\phi_a}(\{\phi_a\})=1$），因此我们无法类似命题 1.1 那样给出相应的 Radon–Nikodym 导数。当然我们可以类似地写出 Dirac $\delta$ 分布 $\delta(\phi-\phi_a)$，它同样满足

$$ \delta_{\phi_a}(A)=\int_A d\mu\, \delta(\phi-\phi_a),\qquad \forall A\in\mathscr F \tag{30} $$

不过此时 $\delta(\phi-\phi_a)$ 不再是可测函数，因此不在 $\mathcal H$ 当中，这迫使我们寻求某个更大的空间，于是引出了下一节的讨论。

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