能带上的 Berry Connection【某几何的 Bloch Bands · 1】
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拿二维晶格的能带结构作为入门微分流形时的一项练习或许是个不错的选择 🤔
1. Brillouin Zone 整体的平凡拓扑 #
二维晶格的连续 Brillouin Zone 是一个 $\mathbb T^2$ 的光滑流形，通过对其上每一点 $\mathbf k$ 定义线性空间
$$ V^{({\mathbf k})} = \mathrm {Span}\{\phi_1^{(\mathbf k)},\dots,\phi_n^{(\mathbf k)}\} \tag{1} $$给出了以 Brillouin Zone 为底流形的向量丛
$$ E = \bigcup_{\mathbf k \in BZ} V^{({\mathbf k})},\qquad \pi:E\to BZ,\ \varphi^{({\mathbf k})}\mapsto {\mathbf k} \tag{2} $$其中 $\phi _i^{(\mathbf k)}$ 为 $\mathbf k$ 处的 Bloch state。向量丛 $E$ 是平凡的，这是考虑到，利用晶体的周期性结构，可以定义内积
$$ \begin{align} \langle \phi_i^{(\mathbf {k_1})} , \phi_j^{(\mathbf {k_2})} \rangle & = \sum_{\mathbf R} \delta_{i,j} e^{i\ \mathbf{(k_1 - k_2) \cdot R}} \notag \\ & = \delta_{i,j} \delta_{\mathbf {k_1, k_2}} \tag{3} \end{align} $$这表明，存在 $E$ 与平凡丛间的微分同胚
$$ \begin{aligned} f: \qquad E & \overset{\cong}{\longrightarrow } BZ \times \mathbb C^n , \\ \phi_i^{(\mathbf k)} & \mapsto (\mathbf k,\ e_i) \end{aligned} \tag{4} $$即 $E$ 具有平凡的拓扑结构。对于平凡丛，总可以定义 $E$ 上的平坦联络
$$ \begin{aligned} \nabla: \qquad \Gamma(E) &\to \Omega^1(BZ, E), \\ s & \mapsto \nabla s = ds \end{aligned} \tag{5} $$该联络保证了任一 Bloch state 在 $E$ 上的截面都是平坦的，即 $\nabla \phi_i^{(\mathbf k)} = 0 ,\ \forall i$ 成立。
2. 能带上的非平凡拓扑 #
晶格上的能带由
$$ \hat H^{(\mathbf k)} u_n^{(\mathbf k)} = \mathcal{E}_n^{(\mathbf k)} u_n^{(\mathbf k)} \tag{6} $$给出。在一般性的讨论中，考虑其中的 $m$ 条能带
$$ W^{(\mathbf k)} = \{u_i^{(\mathbf k)}\}_{i=1}^m \sub V^{(\mathbf k)} \tag{7} $$这给出了 $E$ 的子丛 $F$ 。利用 $V^{(\mathbf k)}$ 上的内积，有自然的正交投影
$$ \begin{aligned} Prj_F^{(\mathbf k)}: \qquad V^{(\mathbf k)} &\to W^{(\mathbf k)} , \\ \varphi^{(\mathbf k)} & \mapsto \langle u_i^{(\mathbf k)}, \varphi^{(\mathbf k)} \rangle u_i^{(\mathbf k)} \end{aligned} \tag{8} $$子丛 $F$ 中的联络 $\nabla ^F$ 被定义为 $E$ 中的平坦联络 $\nabla$ 在 $F$ 中的诱导联络
$$ \nabla^F := Prj_F^{(\mathbf k)} \circ \nabla \tag{9} $$其联络 1 - 形式为
$$ \begin{align} \omega = (\omega^i_j)\ ,\qquad \omega^i_{j} & = \frac{\partial}{\partial u_i}\left(\nabla^F_{\frac{\partial}{\partial k^l}}u_j\right)dk^l \notag \\ & = \frac{\partial}{\partial u_i}\left(\left \langle u_s,\nabla_{\frac{\partial}{\partial k^l}}u_j\right \rangle u_s \right)dk^l \notag \\ & = \left \langle u_i,(du_j) \left(\frac{\partial}{\partial k^l}\right) \right \rangle dk^l \notag \\ & = \left \langle u_i,du_j \right \rangle \tag{10} \end{align} $$这个非 $0$ 值给出了子丛 $F$ 上的非平凡拓扑。称
$$ \mathscr A^{(\mathbf k)} = i\, \omega\ ,\qquad{\mathscr A ^{(\mathbf k)}}^i_j = i \left \langle u^{(\mathbf k)}_i,du^{(\mathbf k)}_j \right \rangle = {\mathscr A_l^{(\mathbf k)}}^i_j\; dk^l \tag{11} $$为 Non-Abelian Berry Connection.
通常，考察单条能带 $W^{(\mathbf k)} = \{u_n^{(\mathbf k)}\}$ ，并称
$$ \mathscr A_n^{(\mathbf k)} = i \omega^1_1 = i \left \langle u_n^{(\mathbf k)},du_n^{(\mathbf k)}\right \rangle = \mathscr A_{l,\ n}^{(\mathbf k)}\; dk^l \tag{12} $$为 Berry Connection.
3. 绝热过程与能带上的平行移动 #
为了将子丛 $F$ 上的结构与实际的物理图景相联系，考察波矢 $\mathbf k$ 在 Brillouin Zone 内随时间缓慢变化的绝热过程，任意时刻 $t$ 的 Stationary Schrödinger Equation 为
$$ \hat H^{(\mathbf k_{(t)})} u_n^{(\mathbf k_{(t)})} = \mathcal{E}_n^{(\mathbf k_{(t)})} u_n^{(\mathbf k_{(t)})} \tag{13} $$体系波函数可形式地表为
$$ \Psi^{(t)} = \sum_n c_n^{(\mathbf k_{(t)})} u_n^{(\mathbf k_{(t)})} \tag{14} $$$\Psi^{(\mathbf k_{(t)})}$ 的随时间演变遵循 Schrödinger Equation
$$ \hat H^{(\mathbf k_{(t)})} \Psi^{(t)} = i \hbar \partial_t \Psi^{(t)} \tag{15} $$将 (14) (13) 式依此代入，整理得到
$$ c_m \mathcal{E}_m = i \hbar \left[\frac{\partial c_m}{\partial k^l} \dot{\mathbf k} + c_m\left\langle u_m, \frac{\partial}{\partial k^l} u_m \right \rangle \dot{\mathbf k} + \sum_{n \not = m} c_n \frac{\left\langle u_m, \partial_t \hat H\ u_n \right \rangle}{\mathcal{E}_n - \mathcal{E}_m} \right] \tag{16} $$对于随时间缓慢变化的绝热过程，近似认为 Hamiltonian 随时变化项 $\left\langle u_m, \partial_t \hat H\ u_n \right \rangle \ll \mathcal{E}_n , \mathcal{E}_m$，从而上式给出
$$ c_n^{(\mathbf k_{(t)})} = c_n^{(\mathbf k_{(0)})}\ \exp\left[{-\frac{i}{\hbar}\int_0^t \mathcal{E}_n^{(\mathbf k_{(t)})}dt}\right] \exp\left[{- \int_{\mathbf k_i}^{\mathbf k_f} \left\langle u_n^{(\mathbf k)}, \frac{\partial}{\partial k^l} u_n^{(\mathbf k)} \right \rangle dk^l}\right] \tag{17} $$据此，对于初始位于某一能量本征态的波函数 $\Psi_n^{(\mathbf k_{(0)})} = u_n^{(\mathbf k_{(0)})}$ ，其绝热过程的随时演化由下式给出
$$ \Psi_n^{(t)} = u_n^{(\mathbf k_{(t)})} \exp\left[{-\frac{i}{\hbar}\int_0^t \mathcal{E}_n^{(\mathbf k_{(t)})}dt}\right] \exp\left[{- \int_{\mathbf k_i}^{\mathbf k_f} \left\langle u_n^{(\mathbf k)}, \frac{\partial}{\partial k^l} u_n^{(\mathbf k)} \right \rangle dk^l}\right] \tag{18} $$这表明体系将始终保持在能量本征态 $u_n^{(\mathbf k_{(t)})}$ 上，其之间仅相差相位因子。其中
$$ e^{i\theta_n}\ , \qquad \theta_n = -\frac{1}{\hbar}\int_0^t \mathcal{E}_n^{(\mathbf k_{(t')})}dt' \tag{19} $$是平凡的，它仅是来自波函数随时演化的动力学相位。而
$$ \begin{align} e^{i\gamma_n}\ , \qquad \gamma_n(\Gamma) & = \int_{\mathbf k_i}^{\mathbf k_f} i \left\langle u_n^{(\mathbf k)}, \frac{\partial}{\partial k^l} u_n^{(\mathbf k)} \right \rangle dk^l \notag \\ & = \int_\Gamma \mathscr A_n^{(\mathbf k)} \tag{20} \end{align} $$则是来自能带几何结构的几何相位。
从物理直观上，绝热过程中，体系波函数应沿丛 $F$ 上的 $\mathbf k(t)$ 平行移动，而事实确实如此，这是因为
$$ \begin{align} \nabla^F_{\dot{\mathbf k}_{(t)}} \Psi_n & = \left(\frac{dc^i}{dt} + \mathscr A^i_{l,\ j}\ c^l \frac{dk^j}{dt}\right) u_i \notag \\ & = \left(-\frac{i}{\hbar} \mathcal{E}_n c^i - c^i \left\langle u_n, \frac{\partial}{\partial k^j} u_n \right \rangle \frac{dk^j}{dt} +\left \langle u_i, \frac{\partial}{\partial k^j}u_l \right \rangle c^l \frac{dk^j}{dt}\right) u_i \notag \\ & = -\frac{i}{\hbar} \mathcal{E}_n c^i u_i \qquad \text(\because c^i = c_n \delta_{n, i}) \notag \\ & = -\frac{i}{\hbar} \mathcal{E}_n \Psi_n \tag{21} \end{align} $$意即 $\Psi_n^{(t)}$ 沿曲线 $\mathbf k(t)$ 平行（尽管其长度发生了变化，这来自波函数的动力学演化。$4.2$ 中将看到，等号右侧的非零项是可以通过 $U(1)$ 规范变换消除的）。可见，丛 $F$ 上的几何结构与实际的物理图景是一致的。
4. 规范变换 #
波函数在 $U(1)$ 规范变换下对称，从而可对各 $\mathbf k$ 处的本征态作 $U(1)$ 规范变换
$$ u_n^{(\mathbf k)} \mapsto \bar u_n^{(\mathbf k)} = e^{i\chi^{(\mathbf k)}} u_n^{(\mathbf k)} \tag{22} $$考察 $1.2$ 中的 Berry Connection、 $1.3$ 中的动力学相位与几何相位在 $U(1)$ 规范变换下的对称性。
4.1. Berry Connection #
在任意的 $U(1)$ 规范变换下
$$ \begin{align} \bar{\mathscr A_n}^{(\mathbf k)} & = i \left \langle \bar u^{(\mathbf k)},d\bar u^{(\mathbf k)} \right \rangle \notag \\ & = \mathscr A_n^{(\mathbf k)} - \ d\chi^{(\mathbf k)} \tag{23} \end{align} $$可见，Berry Connection 不是规范不变的。在 $U(1)$ 规范变换下，$\mathscr A_n^{(\mathbf k)}$ 间相差一个恰当形式 $\ d\chi^{(\mathbf k)}$
4.2. 动力学相位 #
考虑一个含时的相位因子（或者说，对每一个 $t$ 时刻给出一个规范变换的相位因子）
$$ \chi(t) = -\frac{1}{\hbar} \int_0^t \mathcal{E}_n(t')dt' \tag{24} $$并将
$$ \bar u_n^{(\mathbf k, t)} = e^{-\frac{i}{\hbar} \int_0^t \mathcal{E}_n(t')dt'} u_n^{(\mathbf k)} \tag{25} $$代至 $3$ 的讨论中，则 (15) 式修改为
$$ c_m \mathcal{E}_m = i \hbar \left[\frac{\partial c_m}{\partial k^l} \dot{\mathbf k} + c_m\left\langle \bar u_m, -\frac{i}{\hbar}\mathcal{E}_m \bar u_m + \frac{\partial \bar u_m}{\partial k^l} \dot{\mathbf k} \right \rangle + \sum_{n \not = m} c_n \frac{\left\langle \bar u_m, \partial_t \hat H\ \bar u_n \right \rangle}{\mathcal{E}_n - \mathcal{E}_m} \right] \tag{16'} $$同样地，利用绝热近似，得到
$$ c_n^{(\mathbf k_{(t)})} = c_n^{(\mathbf k_{(0)})}\ \exp\left[{\int_{\mathbf k_i}^{\mathbf k_f} \left\langle \bar u_n^{(\mathbf k)}, \frac{\partial}{\partial k^l} \bar u_n^{(\mathbf k)} \right \rangle dk^l}\right] \tag{26} $$可见动力学相位可通过 $U(1)$ 规范变换消除。
4.3. 几何相位 #
在任意的 $U(1)$ 规范变换下
$$ \begin{align} \bar \gamma_n(\Gamma) & = \int_\Gamma i \left\langle \bar u_n^{(\mathbf k)}, \frac{\partial}{\partial k^l} \bar u_n^{(\mathbf k)} \right \rangle dk^l \notag \\ & = \gamma_n(\Gamma) + \int_\Gamma d\chi^{(\mathbf k)} \tag{27} \end{align} $$若 $\Gamma$ 闭合，则其中 $d\chi$ 在闭合回路的积分只能是 $2\pi$ 的整数倍。考虑到几何相位 $\gamma_n \in \dfrac{\mathbb R}{2\pi \mathbb Z}$，从而对于闭合的 $\Gamma$，几何相位在 $U(1)$ 规范变换下对称。
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Berry phase, Berry curvature 与陈数