Berry phase, Berry curvature 与陈数【某几何的 Bloch Bands · 2】
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上一篇文章讨论了二维晶格的能带结构，并引入了能带上的 Berry Connection. 本文继续讨论 Berry phase, Berry curvature 与陈数。
1 Berry phase, Berry curvature #
Berry phase 给出了波函数沿闭合路径的绝热过程前后的几何相位变化。上一篇文章中 $4.2$ 的讨论可见，对闭合曲线 $\Gamma$ ，几何相位
$$ \gamma_n(\Gamma) = \oint_\Gamma \mathscr A^{(\mathbf k)} \tag{1} $$在 $U(1)$ 规范变换下对称。这个规范不变量被称为 Berry phase .
进一步地，Berry curvature 可通过无穷小环路的 Berry phase 定义。曲率 2 - 形式
$$ \mathcal F^{(\mathbf k)} := \lim_{\Sigma \to 0}\frac{1}{\Sigma}\ \gamma(\partial \Sigma) = \lim_{\Sigma \to 0}\frac{1}{\Sigma}\ \oint_{\partial \Sigma} \mathscr A^{(\mathbf k)} = \lim_{\Sigma \to 0}\frac{1}{\Sigma}\ \int_{\Sigma} d\mathscr A^{(\mathbf k)} = d\mathscr A^{(\mathbf k)} \tag{2} $$称为 Berry curvature，其中 $\Sigma$ 为 $\mathbf k$ 点在 $F$ 上的邻域。
事实上，联络 $\nabla^F$ 的曲率形式为
$$ \Omega^i_j = d\omega^i_j + \omega^i_k \wedge \omega^k_j \tag{3} $$对单条能带 $W^{(\mathbf k)} = \{u_n^{(\mathbf k)}\}$ ，即
$$ \Omega^1_1 = d\omega^1_1 \tag{4} $$可见，Berry curvature 正是联络 $\nabla^F$ 的曲率形式，二者仅有一个虚数系数 $i$ 的差别。
Berry curvature 在 $U(1)$ 规范变换下对称，即
$$ \bar{\mathcal F}^{(\mathbf k)} = d\bar{\mathscr A_n}^{(\mathbf k)} = d\mathscr A_n^{(\mathbf k)} - d^2\chi^{(\mathbf k)} = d\mathscr A_n^{(\mathbf k)} = \mathcal F^{(\mathbf k)} \tag{5} $$2 陈数 #
（第一）陈数定义为
$$ C = \frac{1}{2 \pi}\int_{BZ} \mathcal F^{(\mathbf k)} = \frac{1}{2 \pi}\int_{BZ} d\mathscr A^{(\mathbf k)} \tag{6} $$考虑到 Berry curvature 在 $U(1)$ 规范变换下的表现，$\mathscr A_i^{(\mathbf k)}$ 为仅在点 $\mathbf k$ 的邻域 $U_i$ 内局部定义的光滑 1 - 形式，且 $\mathscr U = \{U_i\}_{i\in I}$ 构成 Brillouin Zone 的开覆盖，则
$$ \begin{align} C & = \frac{1}{2 \pi}\sum_{i\in I}\int_{U_i} d\mathscr A_i^{(\mathbf k)} \notag\\ & = \frac{1}{2 \pi}\sum_{i\in I}\oint_{\partial U_i} \mathscr A_i^{(\mathbf k)} \notag \\ & = \frac{1}{2 \pi}\sum_{i\in I}\oint_{\partial U_i} \ d\chi_i^{(\mathbf k)} \tag{7} \end{align} $$式中使用了 $\sum_{i\in I} \partial U_i = 0$ ，这是因为 Brillouin Zone 整体是一个 $\mathbb T^2$ 流形。由于 $d\chi$ 在闭合回路的积分只能是 $2\pi$ 的整数倍，从而 $C \in \mathbb Z$
对于非平凡的拓扑结构，无论如何选取各 $\mathbf k$ 点的规范变换因子，总无法保证 Berry connection $\mathscr A^{(\mathbf k)}$ 在整个 Brillouin Zone 内光滑。此时体系具有非零的陈数。
陈数在 $U(1)$ 规范变换下对称，这由 Berry curvature 的规范对称性保证
$$ \bar C = \frac{1}{2 \pi}\int_{BZ} \bar {\mathcal F}^{(\mathbf k)} = \frac{1}{2 \pi}\int_{BZ} \mathcal F^{(\mathbf k)} = C \tag{8} $$NEXT
量子几何张量